Системы линейных уравнений. Основные понятия. Переменные, входящие в уравнения системы

Глава 7 Системы линейных уравнений.

7.1 Основные понятия.

Определение 1:Системой линейных уравнений называется система вида:

Определение 2: Решением системы линейных уравнений называется упорядоченный набор чисел  при подстановке которых в исходную систему каждое из уравнений обращается в тождество.

Определение 3: Основной матрицей системы линейных уравнений называется матрица А размерности , образованная из коэффициентов при неизвестных:

Определение 4: Основная матрица А системы дополненная столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы и обозначается .

Определение 5: Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной если у неё нет.

Определение 6: Система уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю.

Определение 7: Неизвестная х_i в системе линейных уравнений называется базисной, если она встречается в единственном уравнении системы и имеет коэффициент равный единице.

Определение 8: Система уравнений имеет базисный вид, то есть приведена к единичному базису, если в каждом уравнении выделена одна базисная переменная.

Приведём системы базисного вида:

Расширенная матрица этой системы:

Нетрудно увидеть, что базисными переменными в приведённом примере являются переменные  х₁, х₃, х₄.

Определение 9: Переменные входящие  в уравнения системы и не являющиеся базисными называются свободными переменными.

Определение 10:           Две системы линейных уравнений называются  равносильными, если множества их решений совпадают. Все несовместные системы равносильны.

Перечислим элементарные преобразования систем, приводящие  к равносильным системам:

1.  Удаление из системы нулевого уравнения 0х₁+0х₂+…+0х₄=0

2.  Умножение на число  правой и левой части любого уравнения.

3.  Прибавление к левой и правой части i-ого уравнения соответствующих частей j – ого уравнения, умноженных на число .

4.  Перестановка местами i-ого и j-ого уравнений.

7.2 Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.

Этот метод позволяет привести к базисному виду совместную систему уравнений.

Элементарные преобразования будем осуществлять по следующей схеме.

1. Выбираем разрешающий элемент в каком либо уравнении и если этот элемент расширенной матрицы не является единицей, то элементы разрешающей строки делим на этот элемент.

2. Разрешающий столбец с помощью элементарных преобразований заполняем нулями.

3. Получаем новую расширенную матрицу, в которой снова выбираем другую разрешающую строку и повторяем все действия.

4. В случае возникновения нулевой строки  ее вычеркиваем.

5. В случае возникновения строки вида: 0х₁+0х₂+0х_n=b_i система не имеет решений, то есть является несовместной.

Рассмотрим пример решения системы с использованием столбца контрольных сумм КΣ, которые представляют собой суммы всех коэффициентов, соответствующих уравнений. Эти числа преобразуются  по тем же правилам, что и остальные  элементы матрицы. Контроль состоит в том, что на каждом этапе проверяется совпадение контрольной суммы с суммой всех коэффициентов данного уравнения. Решим систему уравнений.

Составим расширенную матрицу системы, причем в первом столбце будут контрольные суммы, а в последнем будем указывать базисные переменные. Легко видеть что в первом уравнении такой переменной будет переменная х₄.

выберем разрешающий элемент во второй строке, пусть это будет . Используя элементарные преобразования, получим матрицу у которой все остальные элементы разрешающего столбца были нулевые, для этого выполняются следующие элементарные преобразования:

1.  Разрешающая строка умножается на (-2) и складывается с первой строкой, результат записываем на место первой строки.

2.  Разрешающая строка умножается на (-3) и складывается с третьей строкой, результат записывается на место третьей строки.

В результате получаем матрицу:

Используя столбец контрольных сумм, сделаем проверку:

-3=0+0+1+1-5

8=1+2+1+0+4

-13=0-5-1+0-7

Следующим шагом необходимо выбрать разрешающий элемент в третьей строке. В качестве такого элемента можно взять элемент , но для того чтобы этот элемент стал равным единице, умножим элементы третьей строки на (-1). Получим матрицу вида:

используя элементарные преобразования, преобразуем разрешающий столбец матрицы так, чтобы все элементы кроме разрешающего (базисного) стали равны нулю, для этого выполняем следующие элементарные преобразования.

1.  Разрешающая строка умножается на (-1) и складывается со второй строкой, результат записывается на место второй  строки.

2.  Разрешающая строка умножается на (-1) и суммируется с первой строкой, результат записывается на место первой строки.