Системы линейных уравнений. Основные понятия. Переменные, входящие в уравнения системы, страница 2

В результате получаем матрицу вида:

таким образом ,, являются базисными, а переменная является свободной.

Пусть свободная переменная . Получаем значение базисных переменных:

х₁=-3+3

х₃=7-5

х₄=-12+5

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений, которые получаются, задавая  различные значения.

х₁=-3+3;                     х₂=; х₃=7-5;         х₄=-12+5.

7.3 Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Этот метод решения используется при решении систем линейных уравнений, когда количество неизвестных равно числу уравнений и определитель основной матрицы системы не равен нулю.

Приведём здесь формулы Крамера для случая n=3, то есть для системы трёх уравнений с тремя неизвестными.

Рассмотрим систему:

основная матрица системы А

Вычисляем определитель основной матрицы системы, обозначив его :

если определитель , то система имеет единственное решение и для нахождения неизвестных х₁, х₂, х₃ необходимо найти ещё три определителя, которые получаются заменой столбцов определителей основной матрицы, столбцами свободных членов.

         

вычислив эти определители получаем формулы Крамера, для нахождения неизвестных х₁, х₂, х_3.

7.4 Решение систем линейных уравнений матричным способом.

Этот метод, как и предыдущий, используется для решения квадратичных систем, то есть систем имеющих одинаковое число уравнений и неизвестных. Причём для применения этого метода основная матрица системы должна быть невырожденной, и таким образом для нее существует обратная матрица. Рассмотрим применение этого метода на примере системы трёх уравнений с тремя неизвестными.

Для данной системы уравнений имеем основную матрицу системы, матрицу столбец свободных членов и матрицу столбец неизвестных:

; ; ;

тогда система уравнений в матричном виде имеет вид:

так как матрица А по условию является невырожденной то для неё существует обратная матрица А^-1. Домножим матричное уравнение на матрицу А^-1 слева, получим.   

Произведение , так как ЕХ=Х окончательно получим Х=А^-1В.

Таким образом, для решения системы матричным методом, необходимо найти обратную матрицу основной матрицы системы А и затем, умножив ее на матрицу столбец получим матрицу столбец неизвестных.

Рассмотрим примеры, связанные с темой главы 7.

Пример 1:

Решить систему уравнений тремя методами:

1.  Методом Гаусса;

2.  По формулам Крамера;

3.  Матричным методом.

Решение методом Гаусса:

Для использования этого метода выпишем расширенную матрицу системы, включив в нее столбец контрольных сумм КΣ и столбец в котором указываем базисные переменные:

В конечной матрице содержатся только базисные неизвестные, поэтому система имеет единственное решение.

х₁=-1;     х₂=2;    х₃=0.

Приведём описание действий, которые были выполнены в процессе элементарных преобразований.

1.  В качестве разрешающего элемента выбран элемент, стоящий в первой строке и первом столбце. С помощью элементарных преобразований в первом столбце получены нулевые элементы во второй и третьей строках. В результате этих преобразований переменная х₁ стала базисной.

2.  Элементы второй строки умножаем на .

3.  В качестве разрешающего элемента выберем элемент второй строки расположенный во втором столбце. С помощью элементарных преобразований во втором столбце получаем нулевые элементы в первой и третьей строках. В результате этих преобразований переменная х₂ становится базисной.

4.  Элементы третьей строки умножаем на .

5.  В качестве разрешающего элемента выбираем элемент третьей строки стоящий в третьем столбце. С помощью элементарных преобразований в третьем столбце получены нулевые элементы в первой и второй строках.

Решение системы по  формулам Крамера:

Для использования формул Крамера, необходимо выписать четыре определителя третьего порядка.

тогда используя формулы Крамера находим х₁, х₂, х₃:

Решение системы матричным методом:

Для решения системы матричным методом выпишем основную матрицу системы, матрицу столбец неизвестных и матрицу столбец свободных членов.

;

Для использования матричного метода необходимо найти обратную матрицы А^-1. Вычислим сначала определитель основной матрицы.

      (Смотри предыдущий пример)

Матрица невырожденная, следовательно, существует обратная матрица.

Найдём алгебраические дополнения ко всем элементам определителя основной матрицы:

тогда обратная матрица имеет вид:

найдём матрицу Х.

таким образом х₁=-1;  х₂=2;  х₃=0.

Задачи для самостоятельного решения

1. Решить систему по формулам Крамера и матричным способом.

2. Решить систему уравнений методом Жордана Гаусса.

a. 

b. 

c. 

d.