Модель скользящего среднего первого порядка MA(1)
(1)
где независимые
нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием
и постоянной дисперсией
:
,
,
. (2)
В силу (1), (2):
, (3)
(4)
Найдем
ковариацию .
В силу (1):
(5)
В силу (1), (2), (5):
Итак,
(6)
Найдем
ковариацию , где
.
В силу (1):
(7)
В силу (1), (2), (7)
(8)
В
силу равенств (3), (4), (6), (8) процесс MA(1) является
стационарным в слабом смысле (при любых значениях коэффициентов и
.
В силу (4), (6):
(9)
Из равенства (9) следует, что
(10)
причем
при
,
при
.
Из (9):
(11)
Отсюда:
(12)
Несложно
показать, что при :
(13)
Оценивание параметров
В
силу (3) в качестве оценки параметра
можно взять
:
(14)
В
силу (13), считая, что , оценку
параметра
можно находить по
формуле:
, (15)
где
– выборочный
коэффициент ковариации между
и
.
Найдем
формулу для оценки параметра .
Из (4):
(16)
Слдедовательно,
оценку параметра
можно искать по
формуле:
(17)
где
выборочная
дисперсия
.
Прогнозирование
Прогнозирование на один период вперед.
В силу (1):
(18)
Отсюда:
(19)
Найдем
формулу для .
В силу (1):
(20)
Следовательно:
(21)
В частности:
(22)
Следовательно,
зная , с помощью формулы
(21) можно рекуррентным образом найти
, в том числе
.
В
силу формул (19), (21), (22) прогнозное значение можно искать по
формуле:
, (23)
где
значение находится
рекуррентным образом с помощью формул:
(24)
(25)
Прогнозирование на несколько периодов вперед
В силу спецификации модели (1):
(26)
Следовательно,
(27)
В
силу (27) в качестве прогнозного значения при
естественно взять
:
,
(27’)
Модель скользящего среднего порядка MA(q)
Спецификация модели:
(28)
где независимые
нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием
и постоянной дисперсией
:
,
,
. (29)
В силу (28):
(30)
(31)
Найдем
ковариацию
В силу (28):
при
(32)
(33)
Следовательно,
при в силу (29):
Итак,
(34)
Из (28), (33), (29) вытекает, что
(35)
В
силу равенств (30), (31), (34), (35) процесс MA(q) является стационарным в слабом смысле (при любых значениях
коэффициентов и
).
В силу (31), (34), (35):
(36)
(37)
Соотношения
(36), (37) служат основой для определения порядка модели скользящего среднего
MA(q).
Порядок
модели скользящего равен значению при
котором
и
при
.
Оценивание параметров
В
силу (30) в качестве оценки параметра
можно взять
:
(38)
В
силу равенств (36) оценки параметров
,
, можно находить с
помощью следующей системы (нелинейных) уравнений:
,
(39)
где
– выборочный
коэффициент ковариации между
и
.
В силу (31):
(31)
Следовательно,
оценку параметра
можно находить по
формуле:
, (32)
где
выборочная
дисперсия
.
Прогнозирование
В силу спецификации модели (28):
(33)
Следовательно,
при :
(34)
В силу (34):
(35)
Эту формулу можно записать также в виде:
(36)
Найдем
формулы для .
В силу (28):
(37)
Следовательно,
(38)
В частности:
(39)
Следовательно,
зная ,
, с помощью формулы
(38) можно рекуррентным образом найти
.
В
силу формул (36), (39), (38) прогнозное значение можно искать по
формуле:
, (40)
где
значения находится
рекуррентным образом с помощью формул:
,
,
(41)
Из
(33) следует, что при
(42)
Следовательно,
при в качестве
прогнозного значения
естественно
взять
:
,
(43)
Модель авторегрессии – скользящего среднего порядка ARMA(p,q)
Спецификация модели:
(1)
где независимые
нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием
и постоянной дисперсией
:
,
,
. (2)
Будем считать, что
случайный процесс является
стационарным (в слабом смысле), т.е.
,
,
(3)
В силу (1)-(3):
(4)
Отсюда:
(5)
В силу (1)-(3):
Итак,
(6)
В силу (1):
(7)
В
силу (1) при :
(8)
Подставим (7), (8) в (6):
(9)
Прогнозирование
В силу спецификации модели (1):
(10)
Следовательно,
(11)
В силу (11):
(12)
Прогнозные
значения находятся следующим
образом.
В силу (1):
(13)
Следовательно,
при
(14)
Считая, что
(15)
по
формуле (14) рекуррентным образом начиная с можно найти
для всех
.
После
нахождения ,
, формулу (12) можно
рекуррентным образом (начиная с
)
использовать для нахождения прогнозных значений
.
Модель авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего порядка
ARIMA(p,q,r)
Обозначим:
(1)
(2)
(3)
Случайная
последовательность называется
рядом ARIMA(p,q,r), если ряд
является
(стационарным) рядом ARMA(p,q), т.е. ряд
является стационарным
(в слабом смысле) и имеет место равенство:
(4)
где независимые
нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием
и постоянной дисперсией
:
,
,
. (5)
Оценивание
параметров для модели ARIMA(p,q,r) сводится к оценке параметров модели
ARMA(p,q) для ряда ,
Прогнозирование осуществляется в два этапа.
На
первом этапе находятся прогнозные значения ряда
в рамках модели
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.