Спецификация эконометрической модели. Метод оптимального выбора объясняющих переменных

4. Спецификация эконометрической модели

Метод оптимального выбора объясняющих переменных

Заметим, что  возрастает при добавлении еще одного регрессора, что не всегда означает улучшение качества модели. Чтобы устранить этот эффект, используется скорректированный :

.                                                  (1)

В нашем случае:

Отметим, что

,                                             (2)

Наилучшей считается модель с наибольшим .

Строятся модели вида:

, где  ,   .

Алгоритм выбора .

1-й шаг

Рассматриваются модели вида:

при всевозможных .

Находится независимая переменная , для которой  максимально.

Обозначим индекс этой переменной через .

Обозначим:

,

Обозначим через  значение показателя  для оптимальной модели, полученной на первом шаге.

k-й шаг

Рассматриваются модели вида:

при всевозможных .

Находится независимая переменная , для которой  максимально.

Обозначим индекс этой переменной через .

Обозначим:

Обозначим через  значение показателя  для оптимальной модели, полученной на данном шаге.

Далее сравнивается  c .

В случае :

1) модель  считается лучшей, чем модель , и полагается ;

2) если  (т.е. не все переменные включены в модель ), осуществляется переход к следующему шагу (т.е. значение  увеличивается на единицу)

3) если , то на этом заканчивается процесс выбора оптимальной модели; в этом случае все переменные включены в оптимальную модель.

В случае , оптимальной считается модель  и на этом заканчивается процесс выбора оптимальной модели.

Пример 5

Данные о рыночной цене коттеджей, а также об их площади, вместимости гаража и количестве комнат приведены в табл. 3. Требуется построить линейную регрессионную модель для оценки рыночной стоимости коттеджей.  

Наблюдения	Площадь	Гараж	Спальни	Цена
1	1	0	2	65
2	1,1	0	2	73
3	1,15	1	2	85
4	1,4	0	3	87
5	1,7	1	3	98
6	1,8	1	4	105
7	1,9	0	3	95
8	1,9	1	4	125
9	2,1	2	4	125
10	2,1	2	4	137
11	2,3	2	4	150

1-й шаг

Строим модели: , , и для них находим .

1	0,8554
2	0,7317
3	0,7703

Максимальное значение  на 1-м шаге 0,8554 при .

Итак, , ,  

На первом шаге выбрана модель:

и полагается

2-й шаг

Строим модели: ,  ,  и для них находим .

2	0,9239
3	0,8466

Максимальное значение  на 2-м шаге 0,9239 при .

Итак, , ,  

Сравниваем  и .

Поскольку , модель  лучше модели .

Следовательно, на втором шаге выбирается модель :

и полагается

3-й шаг

Строим модель:  и для нее находим

3	0,9179

Значение  на 2-м шаге 0,9179 при .

Итак, , ,  

Сравниваем  и .

Поскольку , модель, полученная на 2-м шаге, считается лучше модели, полученной на 3-м шаге.

Следовательно, в качестве оптимальной выбирается модель :

.

Методы выбора вида зависимости

В общем случае регрессионная модель имеет вид:

,                     (3)

где .

Функция  не обязательно линейна относительно , и зависит от вектора параметров . Следовательно,

,                                                   (4)

Заметим, что часто число параметров  совпадает с числом объясняющих факторов  , т.е. . (Если , можно считать, что .)

Для получения оценок  коэффициентов  можно использовать МНК:

                                     (5)

                            (6)

Затем можно рассчитать скорректированный коэффициент детерминации в соответствии с формулой (1):

                                                    (7)

и на основе этого коэффициента выбрать оптимальный вид модели и произвести оптимальный отбор значимых объясняющих факторов. (Вначале рассмотреть несколько видов функции  , для них произвести оптимальный отбор объясняющих факторов, и выбрать вид функции  с наибольшим .)

Отметим, что одним из способов решения оптимизационной задачи (6) является использование условий первого порядка:

,                                     (8)

т.е. решение системы вообще говоря нелинейных уравнений (8).

Сведение нелинейной регрессии к линейной

Часто представляется возможным свести нелинейную регрессию вида:

                             (9)

к линейной.

Логарифмическая (лог-линейная) модель

Пусть исходная модель – показательная:

                                      (10)

Экономический смысл.

Из (10):

                                       (11)

Отсюда:

.                                      (12)

В силу (12)  – эластичность фактора  по фактору , т.е.  показывает процентное изменение  при увеличении  в расчете на 1%.

Следовательно, модель (10) целесообразно использовать, если есть основания полагать, что эластичности  постоянны, т.е. при равных относительных изменениях фактора  относительные изменения фактора  также (приблизительно) равны.

Прологарифмировав соотношение (10), получим:

,                                (13)

или:

.                         (14)

Модель (14) – это так называемая двойная логарифмическая модель (и зависимая, и объясняющие переменные заданы в логарифмическом виде).

Введя обозначения: ,   ,  получим линейную модель:

                                      (15)

относительно новых переменных  и .

Полулогарифмические модели

Пусть

                                (16)

Из (16):

                                          (17)

Отсюда:

                                         (18)

Следовательно,  показывает относительное изменение фактора при увеличении фактора  в расчете на одну единицу. (Умножив  на 100 получим процентное изменение при увеличении  в расчете на одну единицу.)

Эту модель целесообразно использовать, если есть основания считать, что при равных абсолютных изменениях фактора  относительные изменения фактора  также (приблизительно) равны.

Прологарифмировав (16), получим:

                                (19)

или

,                                   (20)

где .

Пусть

                                (21)

Из (21):

                                                  (22)

Отсюда:

                                                   (23)

Следовательно,  показывает абсолютное изменение фактора  при увеличении фактора  в расчете на 1%.

Эту модель целесообразно использовать, если есть основания считать