Пусть
– (условно)
нормально распределенные случайные величины. Следовательно,
, (42)
где
– единичная матрица
размером
.
Тогда
и (условно) нормально
распределенные величины, а следовательно и векторная МНК-оценка
также условно
нормально распределена (поскольку она линейна относительно
).
В силу (20) и (24)
(43)
Заметим,
что стандартная
нормальная случайная величина, т.е.
(44)
Как
было указано выше, случайная величина имеет распределение
«хи квадрат» с числом степеней свободы
:
(44’)
Кроме
того, выше мы доказали, что вектор и
величина
независимы.
Следовательно,
случайные величины и
также независимы.
Поэтому с учетом (44) и (44’) случайная величина:
(44’’)
имеет
распределение Стъюдента со степенями свободы .
Упростив (44’’), получим:
(45)
Напомним, что распределение Стъюдента с степенями свободы –
это распределение следующей случайной величины:
, (45’) где
и
– независимые
стандартная нормальная случайная величина и случайная величина, имеющая
распределение «хи квадрат» с
степенями
свободы.
Подставим (26) в формулу (45) примет вид:
(45’’)
В силу (41’) формулу (45’’) запишем в виде:
(46)
Напомним,
что случайная величина имеет
распределение Стъюдента со степенями свободы
:
(47)
Статистики
, как и в случае
парной регрессии, можно использовать для проверки гипотез и для построения
доверительных интервалов. (см. тему 2). Отметим, что методика проверки гипотез
и построения доверительных интервалов основана на использовании соотношения:
, (48)
где
двусторонняя
квантиль распределения Стъюдента с числом степеней свободы
при уровне
значимости
.
Пусть
.
В
условиях нашего примера ,
и
.
Найдем
t-статистики коэффициентов регрессии при по формуле (46):
|
|
|
|
1 |
3,8617 |
1,9651 |
-0,2786 |
2 |
0,0016 |
0,0397 |
6,6315 |
3 |
0,0002 |
0,0145 |
-3,9868 |
Как
видно из таблицы, значимым коэффициентом является только .
Как
и в случае парной регрессии доверительные интервалы для коэффициентов имеют вид:
(49)
В нашем случае:
|
95%-й доверительный интервал
для |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
Проверка
общего качества уравнения регрессии. Коэффициент детерминации
Напомним:
, (total
sum of squares, полная сумма квадратов), (50)
, (error
sum of squares, остаточная сумма квадратов) (51)
, (regression
sum of squares, объясненная сумма квадратов) (52)
В нашем случае:
Обозначим:
(53)
Статистику
называют
коэффициентом детерминации.
В нашем случае:
Чем
больше значение к 1, тем
лучше качество подгонки.
Проверка
гипотезы:
– матрица размером
,
,
,
– вектор-столбец
длиной
.
Пусть, например:
,
,
Тогда
гипотезу можно записать в
виде системы двух равенств:
Найдем
(54)
Итак,
(55)
Подставим (24) в (55):
(56)
Итак,
(57)
Можно показать, что при выполнении гипотезы:
(58)
величина:
(59)
имеет
распределение Фишера (F-распределение) с степенями свободы:
(60)
Напомним,
что распределение Фишера с степенями
свободы – это распределение следующей случайной величины:
(61)
где
и
– независимые
случайные величины, имеющие распределения «хи квадрат» с
и
степенями свободы,
соответственно.
Следовательно, при выполнении гипотезы (58) имеет место равенство:
, (62)
где
–
-квантиль
распределения Фишера с
степенями
свободы.
В
случае, если нулевая
гипотеза отвергается; если
,
нет оснований отвергать нулевую гипотезу (и она принимается).
В условиях
нашего примера при указанных выше ,
и
при
:
Следовательно,
в данном случае нулевая гипотеза: ,
отвергается.
В частном случае, когда нулевая гипотеза имеет вид:
, (63)
для модели:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.