формулу (59) можно привести к виду:
(64)
В условиях нашего примера:
.
Следовательно,
нулевая гипотеза: отвергается
Рассмотрим случай, когда нулевая гипотеза имеет вид:
,
, (65)
где
– некоторое
подмножество значений множества
индекса
коэффициентов
.
В
этом случае матрица будет
состоять из строк, в которых j-я компонента равна
1, а остальные – нули. Вектор
состоит
из нулей.
Например, в случае модели:
(66)
и нулевой гипотезы:
(67)
матрица
и вектор
равны:
,
В рассматриваемом нами случае F-статистику (59) можно найти также следующим способом.
Наряду с исходной «длинной» моделью:
(68)
рассмотрим «короткую» модель:
(69)
Например, в случае «длинной» модели (66) и нулевой гипотезы (67) «короткая» модель (69) имеет вид:
(70)
Обозначим
через и
остаточную сумму
квадратов и коэффициент детерминации для «длинной» регрессии, а через
и
– эти же величины
для короткой регрессии.
Можно показать, что для F-статистики (59) справедливы формулы:
. (71)
Напомним,
что количество степеней свободы F-статистики равно , где
– число равенств в
нулевой гипотезе.
Доверительная область для коэффициентов регрессии.
Рассмотрим
случай, когда .
Тогда
равенство (58) примет вид:
Заменив
на
и
на
в формуле (59),
получим:
(72)
В
силу (62) -доверительная
область для вектора
задается
условием:
(73)
и является эллипсоидом в m-мерном пространстве.
Доверительные интервалы для зависимой переменной
Пусть
.
Например,
.
Будем считать, что в соответствии с зависимостью (5), имеет место равенство:
(74)
и
для выполняются
основные гипотезы линейной регрессии:
1)
;
2)
;
3)
.
В силу гипотезы (1):
(75)
Прогнозное
значение находится в
соответствии с формулой (11):
(76)
В
условиях нашего примера при :
(При
этом реальное значение может не
известно.)
Заметим, что
. (77)
В
силу (20), (75), (76), прогнозное значение является
несмещенной оценкой величины
..
Для
получения доверительных интервалов ниже будем считать, что условное
распределение случайной величины нормально
(при фиксированных значениях случайных величин
и
).
Тогда
в силу формулы (76) из того, что условное распределение оценки нормально,
вытекает, что условное распределение прогноза
также нормально.
При этом в силу (63):
(78)
Итак,
(79)
Подставив формулу (24) в (79), получим:
(80)
Подставив
вместо ее выборочную
несмещенную оценку
, получим
несмещенную оценку для
:
. (81)
В условиях нашего примера:
Обозначим:
(82)
В нашем случае:
Можно доказать, что статистика
(83)
имеет
распределение Стъюдента с числом степеней свободы .
Следовательно,
при уровне значимости :
, (84)
где
– двусторонняя
квантиль распределения Стъюдента для уровня значимости
и числа степеней
свободы
.
Из (84) в результате несложных алгебраических преобразований имеем:
(85)
Это
соотношение определяет доверительный интервал для ожидаемого значения :
, (86)
в
который с вероятностью попадает
.
В
нашем случае 95%-й доверительный интервал для :
.
Доверительный интервал для
Будем считать, что значение не известно.
Из равенств (75), (77):
(87)
Используя формулу (24), получим:
Итак,
(88)
Следовательно,
(89)
является несмещенной оценкой для .
В нашем случае:
Обозначим:
(90)
В нашем случае:
Можно показать, что величина
(91)
имеет
распределение Стъюдента с числом степеней свободы .
Следовательно,
при уровне значимости :
, (92)
где
– двусторонняя
квантиль распределения Стъюдента для уровня значимости
и числа степеней
свободы
.
Из (92) в результате несложных алгебраических преобразований имеем:
(93)
Это
соотношения определяет доверительный интервал для значения :
, (94)
в
который с вероятностью попадает
.
В
нашем случае доверительный интервал для значения :
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.