Нормально распределенные величины. Единичная матрица. Стандартная нормальная случайная величина, страница 2

формулу (59) можно привести к виду:

(64)

В условиях нашего примера:

Следовательно, нулевая гипотеза: отвергается

Рассмотрим случай, когда нулевая гипотеза имеет вид:

, , (65)

где – некоторое подмножество значений множества индекса коэффициентов .

В этом случае матрица будет состоять из строк, в которых j-я компонента равна 1, а остальные – нули. Вектор состоит из нулей.

Например, в случае модели:

(66)

и нулевой гипотезы:

(67)

матрица и вектор равны:

В рассматриваемом нами случае F-статистику (59) можно найти также следующим способом.

Наряду с исходной «длинной» моделью:

(68)

рассмотрим «короткую» модель:

(69)

Например, в случае «длинной» модели (66) и нулевой гипотезы (67) «короткая» модель (69) имеет вид:

(70)

Обозначим через и остаточную сумму квадратов и коэффициент детерминации для «длинной» регрессии, а через и – эти же величины для короткой регрессии.

Можно показать, что для F-статистики (59) справедливы формулы:

. (71)

Напомним, что количество степеней свободы F-статистики равно , где – число равенств в нулевой гипотезе.

Доверительная область для коэффициентов регрессии.

Рассмотрим случай, когда .

Тогда равенство (58) примет вид:

Заменив на и на в формуле (59), получим:

(72)

В силу (62) -доверительная область для вектора задается условием:

(73)

и является эллипсоидом в m-мерном пространстве.

Доверительные интервалы для зависимой переменной

Пусть .

Например,

Будем считать, что в соответствии с зависимостью (5), имеет место равенство:

(74)

и для выполняются основные гипотезы линейной регрессии:

1) ;

2) ;

3) .

В силу гипотезы (1):

(75)

Прогнозное значение находится в соответствии с формулой (11):

(76)

В условиях нашего примера при :

(При этом реальное значение может не известно.)

Заметим, что

. (77)

В силу (20), (75), (76), прогнозное значение является несмещенной оценкой величины ..

Для получения доверительных интервалов ниже будем считать, что условное распределение случайной величины нормально (при фиксированных значениях случайных величин и ).