Другие предметы \ Эконометрика

Симметричная положительно определенная матрица. Условие несмещенности прогноза

Страницы работы

12 страниц (Word-файл)

Скачать файл

Содержание работы

Прогнозирование

Пусть – известные значения, – неизвестно.

Будем считать, что основные гипотезы имеют место также для «наблюдения» :

1) (52)

2) (53)

3) , (54)

где , – симметричная положительно определенная матрица размера , такая, что – ее подматрица,

4) (55)

При заданном будем строить прогноз, линейный относительно :

(56)

где .

Условие несмещенности прогноза имеет вид:

(57)

Из (1), (2), (56):

Итак,

(58)

Из (52), (53):

(59)

Итак, условие несмещенности прогноза (56) имеет вид:

(60)

Поскольку равенство (60) должно выполняться при всех , из него следует, что:

(61)

Условие эффективности прогноза заключается в том, что вектор обеспечивает минимум выражения:

(62)

В силу (60):

(63)

Следовательно,

(64)

Подставим (64) в (62) и воспользуемся формулой (3):

Итак,

(65)

Заметим, что равен произведению на элемент матрицы , а вектор-столбец равен произведению на столбец соответствующих элементов матрицы .

Следовательно, равенство (65) можно также записать в виде:

(66)

Таким образом, вектор обеспечивающий несмещенный и эффективный прогноз в классе прогнозов, линейных относительно , является решением следующей оптимизационной задачи:

(67)

(68)

Построим функцию Лагранжа для задачи (67)-(68):

(69)

где – вектор множителей Лагранжа.

Продифференцируем функцию Лагранжа по .

(70)

Приравняв полученное выражение к нулю, получим условие Куна-Таккера:

(71)

Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений (68), (71) относительно векторов и :

, (72)

(73)

Умножим уравнение (72) слева на и выразим из полученного равенства вектор :

(74)

Подставим эту формулу в (73):

(75)

Отсюда:

(76)

Подставим (76) в (74):

(77)

Формула (77) дает оптимальное решение оптимизационной задачи (67), (68).

Следовательно, эффективный несмещенный прогноз вычисляется с помощью вектора (77) по формуле (56):

(78)

Из формул (5), (18), (19), (77) следует, что формула (78) может быть также представлена в виде:

(79)

Отметим, что в случае классической модели (когда ) и . Следовательно, для случая классической модели формула (79) принимает вид: , что согласуется с полученными ранее результатами.

В случае, когда присутствует только гетероскедастичность (а автокорреляция отсутствует), матрица диагональна и . Следовательно, в этом случае формула (79) имеет вид:

(80)

Интервальная оценка для

Заметим, что в силу (52), (53):

(81)

В силу несмещенности ОМНК-оценки :

(82)

Из результатов для классической модели следует, что случайные величины и независимы. Следовательно, случайные величины и также независимы. Поэтому в силу (22’), (82) случайная величина: