Реализация ОМНК в случае гетероскедастичности
В этом случае матрица
диагональна.
Для оценки
диагональных элементов матрицы (т.е.
дисперсий случайных отклонений
)
можно использовать следующую методику.
Вначале
используется классическая регрессионная модель: находятся соответствующие
коэффициенты (по формуле
), прогнозные
значения
и остатки
(для модели:
).
Затем
строится (классическая) регрессия квадратов полученных остатков на некоторые
переменные
:
, (126)
где – коэффициенты
регрессии (126),
–
случайные отклонения.
В
качестве переменных могут
использоваться переменные
,
их квадраты, произведения
,
а также другие переменные.
Для
коэффициентов строится
МНК-оценка:
(127)
и с помощью вектора строятся оценки для
дисперсий случайных отклонений
:
(128)
С помощью
полученных значений строится
диагональная матрица
.
Затем матрицу можно использовать
вместо матрицы
для
построения ОМНК-оценок и прогнозов.
Отметим, что при такой методике полагается, что:
(129)
т.е. что в гипотезе (3):
. Следовательно, в
формулах ОМНК можно считать, что
.
Другой способ использования ОМНК в условиях гетероскедастичности (при отсутствии автокорреляции) состоит в следующем.
В
качестве оценок коэффициентов регрессии используются МНК-оценки: .
Уайт показал, что матрица:
(130)
является
состоятельной оценкой матрицы ковариаций
оценок коэффициентов регрессии (т.е.
стремиться
по вероятности к
при
).
Поэтому
при реализации ОМНК можно использовать матрицу (построенную по
формуле (130)) в качестве оценки матрицы
. Это касается
вычисления оценок
по
формуле (40) (и, следовательно, построения t-статистик
и интервальных оценок для коэффициентов регрессии), построения F-статистики (формулы (48’), (50’), (51’)). (В указанных формулах
следует использовать
вместо
.)
Реализация ОМНК в случае автокорреляция остатков
Будем считать, что для модели: последовательность
случайных отклонений
образует
авторегрессионный процесс первого порядка, т.е.
,
(131)
где
– последовательность
независимых нормально распределенных величин с нулевым математическим ожиданием
и постоянным стандартным отклонением
,
– коэффициент
авторегрессии (причем
),
– нормально
распределенная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и
дисперсией
, равной
(при которой
дисперсии
постоянны).
Используя равенство (131), несложно показать, что
(132)
Из
(132) следует, что – это
коэффициент корреляции между
и
, (в частности,
– это коэффициент
корреляции между
и
).
Обозначим:
(133)
матрицу
состоящую из коэффициентов корреляции между при разных
значениях
. (Элемент
этой матрицы равен
.)
В
силу (133) ковариационная матрица для вектора равна:
, (134)
что согласуется с гипотезой (3).
При
известном значении матрица
легко находится по
формуле (133). Следовательно, для оценки параметров модели:
, проверки гипотез и
построения прогноза можно использовать описанный выше ОМНК.
Однако
в подавляющем большинстве случаев значение неизвестно. В этих
случаях используется (в частности) процедура Кохрейна-Оркатта (Cochrane-Orcutt). Изложим эту методику.
1)
Для исследуемой модели: используется МНК и
строится вектор остатков
2)
В качестве приближенного значения параметра берется его
МНК-оценка
в регрессии:
3)
С помощью оценки параметра
строится оценка
матрицы
,
4)
С использованием матрицы находятся
ОМНК-оценки
, строятся
прогнозные значения
и вектор
остатков
5)
В качестве нового приближенного значения параметра берется его
МНК-оценка
в регрессии:
6) Процедура повторяется, начиная с шага 3.
Процесс заканчивается, когда очередное приближение
параметра мало отличается от
предыдущего (т.е. когда величина
достаточно
мала; здесь индекс
обозначает
номер итерации).
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.