Симметричная положительно определенная матрица. Условие несмещенности прогноза, страница 2

                               (88)

                                 (89)

Подставим (87) в формула (84):

                                 (90)

С учетом (89) формула (90) примет вид:

                                               (91)

Итак, t-статистика Стъюдента для   может быть найдена по формуле (91) и

                                                              (92)

Следовательно,

                      (93)

Отсюда с учетом (91) и (81):

    (94)

Это соотношение определяет интервал для ожидаемого значения :

,                                 (95)

в который с вероятностью  попадает .

Интервальная оценка для

Обозначим:

                           (96)

где (в соответствии с вышеизложенным материалом)  , , , , .

Несложно показать, что формула (96) может быть также записана в виде:

                                  (96’)

С помощью формулы (96) несложно показать, что

                                                    (97)

Покажем независимость необъясненной дисперсии  и случайной величины :

В силу независимости  и  для этого достаточно показать независимость  и случайной величины:

                                   (98)

Поскольку  функционально зависит от вектора  (формула (22)) , для независимости случайной величины (98) и  достаточно показать независимость величины (98) и вектора , а для этого достаточно показать их некоррелированность (в силу того, что они нормально распределены).

В силу (81):

                                  (99)

Подставим (21’) и формулу:    в (99), в силу (54) получим:

         Итак,

                                          (100)

Из (100), (21’’):

Итак,

                        (101)

Отсюда (в соответствии с вышеизложенным)  вытекает независимость случайных величин  и .

Обозначим через  стандартное отклонение случайной величины (96).

В силу (97) :

                                                         (102)

Напомним, что

                                             (103)

В силу независимости  и   случайная величина:

                                    (104)

имеет распределение Стъюдента со степенями свободы  .

Упростив (104), получим:

                                           (105)

Найдем .

Подставим (52) в (96):

                           (106)

В силу (106), (89), (14), (54) и с учетом независимости  и  получим:

Итак,

  (107)

В соответствии с формулой (3.21):

                                                (108)

Следовательно, в силу (54) и с учетом формулы  получим:

Итак,

                               (109)

В силу (54), (21’) и с учетом формулы  получим:

Итак,

                              (110)

Подставим, (109), (110) в (107):

       (111)

Подставив формулы: ,  в (111) получим:

    (112)

Обозначим:

    (113)

В силу (113) формулу (112) можно записать в виде:

                                                         (114)

Из (114):

                                               (115)

В силу (114), (115) для  и  можно использовать оценки:

                                  (116)

                        (117)

Подставив формулу (115) в (105),  с учетом (117) получим:

                                               (118)

Напомним, что

.                                            (119)

Следовательно,

                     (120)

С учетом (79) формула (96’) примет вид:

                                                         (121)

Обозначим:

                    (122)

С учетом (122) формулу (121)можно записать в виде:

                                               (123)

Из (118), (120), (123) получим:

    (124)

Это соотношение определяет прогнозный интервал для :

,                            (125)

в который с вероятностью  попадает .

В подавляющем большинстве случаев матрица  неизвестна.

Однако можно делать предположения о структуре этой матрицы. Например, в случае гетероскедастичности (при отсутствии автокорреляции) матрица  диагональна. Такие предположения помагают оценить матрицу .

В случае, когда используется ОМНК с помощью оценки матрицы  (поскольку сама матрица  не известна), ОМНК называют практически реализуемым (либо доступным) ОМНК.