Понятие числового ряда и его сходимости. Члены ряда. Сумма ряда. Метод неопределенных коэффициентов

Понятие числового ряда и его сходимости

Пусть дана бесконечная последовательность чисел a1,a2,a3,...,an,...  .      Числовым рядом называется выражение  ∞ a1 + a2 +...+ an +... = ∑an, n=1                            (1) где числа a1,a2,a3,...,an,... называются членами ряда,  а an = f (n) называется общим членом ряда.

Что есть сумма ряда     ???

Отличается от  суммы конечного числа слагаемых. Например, сочетательное свойство может нарушаться:

(1−1)+ (1−1)+ (1−1)+..... = 0+ 0+0+.... = 0

1−(1−1)−(1−1) −..........=1−0−0−........ =1

	Определение.	Частичной n― ой суммой ряда (1) сумма Sn его первых n  членов:  Sn = a1 + a2 +...+ an.
	называется

Образуем   теперь последовательность    

S₁,S₂,...S_n,...,    состоящую из частичных сумм ряда (1).

	Определение.	Если существует конечный предел S  частичных сумм  S= lim Sn,  то n→∞  сходящимся, а число S ― суммой записывается этот факт как S  an .   n=1
	последовательности ряд (1) называется ряда и

	Пример.	1) Исследовать на сходимость ряд +1`−1+........ т.е общий член есть an = (−1)n
	1−1

Решение.      Так как   последовательность частичных сумм  имеет вид

   S₁ =1,S₂ =1−1= 0,S₃ =1−1+1=1,.....,S_n = (−1)ⁿ⁺¹ то   lim S_n      не существует   ⇒ ряд расходится n→∞

	Пример.	2) Исследовать на сходимость (по !) ряд   ряд сходится, то найти его сумму.
	определению и, если

Решение. Общий член ряда a_n =  

представим в виде двух слагаемых

                        1                    a            b

                                                      =          +      и найдем числа a и b

(3n −1)(3n + 2)   3n −1   3n + 2

методом неопределенных коэффициентов: 

                                                              1               n(3a + 3b) + 2a −b

                                                                                          =                             .

                                     (3n −1)(3n + 2)      (3n −1)(3n + 2)

⎧3a +3b = 0,             ⎧ b = −a,           ⎧b = −1 3,

⎨                      ⇔    ⎨                       ⎨    

⎩2a −b =1,               _⎩2a + a =1,        ⎩a =1 3.

Значит,         a_n ,    а  тогда 

 

()+...+ ().

В этой сумме все слагаемые, кроме первого и последнего, взаимно уничтожаются.
	Sn =	.

Находим  теперь

                   1      1 3         1    1             1         1    1

lim (    −         ) =   −    lim             =   −   ⋅0 =

n→∞ 6    3n + 2      6   3n→∞ 3n + 2    6    3

Итак, данный ряд сходится и его сумма  равна  S

∞

Ряд    a + aq + aq² +...+ aqⁿ⁻¹ +... = ∑aqⁿ⁻¹,a≠ 0,   (2)

n=1

составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем q, называется  геометрическим рядом. 

Если q <1,  то ряд (2) сходится и его сумма  равна  a

S =         ;          если q ≥1,  то ряд (2) расходится.

1− q

 Д-во:     

                                        n                             n

                  a − aq                a − aq                        a

S_n =   ⇒ lim  = (q <1) =

                       1− q          n→∞ 1− q                      1− q

Ряд                                                     ,      называемый 

                                     2    3           n           _n=1 n

                                                                                                                                               ⎛1      1 1 1 ⎞

гармоническим рядом,  расходится.       ⎜                                                                   =   (   + )⎟

                                                                                                                                               ⎝c      2 a b ⎠

Док-во. От противного. Пусть            lim S_n =S. Тогда n→∞

lim (S₂n −S_n) = lim S₂n − lim S_n =S−S = 0. n→∞        n→∞        n→∞

Но с другой стороны 

(S₂n − S_n) =       .         Тогда n  2     2n   2

равенство lim (S_2n −S_n) = 0 невозможно.Противоречие n→∞

Обобщенный гармонический ряд   если p >1    и расходится, если     p ≤	n=1np		сходится,
	1.	УПР* Доказать

Простейшие свойства сходящихся рядов.
	Определение 1	.  Если в ряде (1) отбросить первые n   получится ряд rn,  называемый остатком n-го члена:
	членов, то ряда  (1) после        rn
			(3)

	Теорема 1	. Если ряд (1) сходится, то сходится и любой  и, наоборот, если остаток (3) сходится, то   ряд (1).
	его остаток сходится и

	Определение 2.	Произведением ряда (1) на постоянное  ряд  ca1 +...+can can     (4)     n=1
	число c называют

	Теорема 2.	Если ряд (1) сходится  и его сумма равна S, сходится и его сумма  равна cS.
	то и ряд (4)
	Определение 3.		Суммой   (разностью)  двух  рядов                         ∞                                                        ∞ +...= ∑an и   b1 + b2 +...+ bn +...= ∑bn n=1       n=1
	a1 + a2 +...+ an называется ряд

	Теорема 3	∞            ∞ . Если ряды ∑an и ∑bnсходятся и имеют                                              n=1         n=1 и S2, соответственно, то их сумма и разность  имеют суммы  S1± S2.
	суммы S1 сходятся и

Как вычислить сумму ряда???

Ряд сходиться или расходится??

Ниже приведены несколько утверждений, позволяющих делать (в некоторых случаях) заключение о сходимости или  расходимости  рядов.

	Теорема 4	(необходимый признак сходимости).  (1) сходится, то общий член этого ряда к нулю: lim an = 0. n→∞
	Если ряд стремится

n→∞

Д-во:  a_n = S_n − S_n−1 ⎯⎯⎯→0

Внимание!       Данный признак не является                                       достаточным! 

Пример:  Гармонический ряд   

                                                                                                                             2           n   n=1 n

1

расходится, но  a_n = → 0 n

Следствие (достаточный признак расходимости ряда). Если  lim a_n ≠ 0, то ряд (1) расходится. n→∞

Пример. Исследовать на сходимость ряд               .

n=13n + 2

                                                    2n −1     ⎡∞⎤            2−1 n     2

n→∞ n→∞ 3n + 2 ⎢⎣∞⎥⎦ = nlim→∞3+ 2 n = 3 ≠ 0. lim an = lim  =

 Значит,  ряд расходится.

Теорема 4 (первый признак сравнения). 

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами: 

                                                                                 (А)

n=1

и                                                                               (В)      

n=1

 Если для всех n,  или начиная с некоторого номера n= N , выполняется неравенство    a_n ≤ b_n, то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А),  а из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда  (В).  Иначе говоря, если «больший» ряд сходится,  то и   «меньший» ряд сходится; если   «меньший» ряд расходится, то и «больший» ряд расходится.

                                                                                                         ∞       2n

   Пример.  Исследовать ряд ∑                   на сходимость.

2n

n=1 1+ 2  Сравним данный ряд с геометрическим рядом ,

n

n=12

который сходится  как геометрический ряд со

1  2ⁿ     2ⁿ     1

знаменателем q = <1. Имеем              <       =     для

2  1+ 22n   22n        2n

всех n,  значит,  на основании теоремы  ряд сходится.

Пример

        Решение. Сравним данный n=1 ln(n+1)

ряд с расходящимся гармоническим рядом .

                                                     1             1

Поскольку >      и гармонический ряд  ln(n +1)   n +1

расходится, то на основании теоремы   заключаем, что ряд  расходится.

n=1 n+1

Теорема 5. (второй признак сравнения). 

Если существует конечный, отличный от нуля, предел aⁿ = L, L ≠ 0, L ≠ ∞, то ряды (А) и (В) сходятся lim

n→∞ bn или расходятся одновременно.

  Пример. Исследовать  ряд                            .

                                                                                                       n=1 n   − 3n + 5

Сравним данный ряд с гармоническим рядом , который расходится. Имеем 

lim aⁿ = lim (2n −1)n        = lim                     2n² − n =

n→∞ ^b_n         n→∞ (n² − 3n + 5) n→∞ n² −3n + 5

2

lim= lim= 2 ≠ 0. n→∞      3     n→∞        3

                   n (1−    +     )            1−   +

                                         n     n2                       n    n2

Поскольку 2 ≠ 0, то на основании теоремы  заключаем, что исследуемый ряд расходится.

	Теорема 6 (признак Даламбера)	. Если для ряда a                lim n+1 = l, то n→∞ an 1 ряд расходится,   ― нужно
	∞ ∑ an,          an > 0, существует предел n=1 при l <1 ряд сходится,   при l > при l =1 вопрос остается открытым применять  другие  признаки.

Признак Даламбера удобно применять в тех случаях, когда в  записи общего члена ряда участвуют факториалы (!) и степени.

Пример.

^∞ n!

             Исследовать  ряд           ∑  . n

                                                                                        n!                

Решение. Так как a_n = _n ,  a_n+1 =        _n+1 ,  то

                                                                                       5                     5

                  (n +1)!5ⁿ             n!(n +1) 5ⁿ                  n+1

l = lim  = lim  = lim  = ∞.  n→∞ 5n+1 n! n→∞ 5ⁿ ⋅5⋅n! n→∞ 5

Так как  ∞>1, то  исследуемый ряд расходится.

Теорема 7 (признак Коши).          Если для ряда ∞

∑a_n,       a_n > 0, существует предел l = lim ⁿ a_n , n=1        n→∞

 то при l <1 ряд сходится, при l >1 ряд расходится, а при l =1 вопрос