Понятие числового ряда и его сходимости. Члены ряда. Сумма ряда. Метод неопределенных коэффициентов

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Понятие числового ряда и его сходимости

Пусть дана бесконечная последовательность чисел

a1,a2,a3,...,an,...  .

     Числовым рядом называется выражение 

a1 + a2 +...+ an +... = ∑an,

n=1

                           (1) где числа a1,a2,a3,...,an,... называются членами ряда,  а an = f (n) называется общим членом ряда.

Что есть сумма ряда     ???

Отличается от  суммы конечного числа слагаемых. Например, сочетательное свойство может нарушаться:

(1−1)+ (1−1)+ (1−1)+..... = 0+ 0+0+.... = 0

1−(1−1)−(1−1) −..........=1−0−0−........ =1

Для корректного определения суммы бесконечного ряда  воспользуемся операцией предельного перехода.

Определение.

Частичной n― ой суммой ряда (1) сумма Sn его первых n  членов: 

Sn = a1 + a2 +...+ an.

называется

Образуем   теперь последовательность    

S1,S2,...Sn,...,    состоящую из частичных сумм ряда (1).

Определение.

Если существует конечный предел S  частичных сумм  S= lim Sn,  то n→∞

 сходящимся, а число Sсуммой

записывается этот факт как S  an .  

n=1

последовательности ряд (1) называется ряда и

Если lim Sn не существует или равен бесконечности, n→∞ то ряд (1) называется расходящимся.

Пример.

 1) Исследовать на сходимость ряд

+1`−1+........ т.е общий член есть an = (−1)n

1−1

Решение.      Так как   последовательность частичных сумм  имеет вид

   S1 =1,S2 =1−1= 0,S3 =1−1+1=1,.....,Sn = (−1)n+1 то   lim Sn      не существует   ⇒ ряд расходится n→∞

Пример.

 2) Исследовать на сходимость (по

!) ряд

 

ряд сходится, то найти его сумму.

определению

и, если

Решение. Общий член ряда an =  

представим в виде двух слагаемых

                        1                    a            b

                                                      =          +      и найдем числа a и b

(3n −1)(3n + 2)   3n −1   3n + 2

методом неопределенных коэффициентов: 

                                                              1               n(3a + 3b) + 2a b

                                                                                          =                             .

                                     (3n −1)(3n + 2)      (3n −1)(3n + 2)

⎧3a +3b = 0,             ⎧ b = −a,           ⎧b = −1 3,

⎨                      ⇔    ⎨                       ⎨    

⎩2a b =1,               2a + a =1,        ⎩a =1 3.

Значит,         an ,    а  тогда 

 

()+...+ ().

В этой сумме все слагаемые, кроме первого и последнего, взаимно уничтожаются. 

Sn =

  .

Находим  теперь

                   1      1 3         1    1             1         1    1

lim (    −         ) =   −    lim             =   −   ⋅0 =

n→∞ 6    3n + 2      6   3n→∞ 3n + 2    6    3

Итак, данный ряд сходится и его сумма  равна  S

Ряд    a + aq + aq2 +...+ aqn−1 +... = ∑aqn−1,a≠ 0,   (2)

n=1

составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем q, называется  геометрическим рядом

Если q <1,  то ряд (2) сходится и его сумма  равна  a

S =         ;          если q ≥1,  то ряд (2) расходится.

1− q

 Д-во:     

                                        n                             n

                  a aq                a aq                        a

Sn =   ⇒ lim  = (q <1) =

                       1− q          n→∞ 1− q                      1− q

Ряд                                                     ,      называемый 

                                     2    3           n           n=1 n

                                                                                                                                               ⎛1      1 1 1 ⎞

гармоническим рядом,  расходится.       ⎜                                                                   =   (   + )⎟

                                                                                                                                               ⎝c      2 a b

Док-во. От противного. Пусть            lim Sn =S. Тогда n→∞

lim (S2n Sn) = lim S2n − lim Sn =SS = 0. n→∞        n→∞        n→∞

Но с другой стороны 

(S2n Sn) =       .         Тогда 2     2n   2

равенство lim (S2n Sn) = 0 невозможно.Противоречие n→∞

Обобщенный гармонический ряд   если p >1    и расходится, если     p

n=1np

сходится,

1.

УПР* Доказать

Простейшие свойства сходящихся рядов.

Определение 1

.  Если в ряде (1) отбросить первые n   получится ряд rn,  называемый остатком n-го члена:

членов, то ряда  (1) после

       rn

        

(3)

Теорема 1

. Если ряд (1) сходится, то сходится и любой  и, наоборот, если остаток (3) сходится, то   ряд (1).

его остаток сходится и

Определение 2.

 Произведением ряда (1) на постоянное

 ряд  ca1 +...+can can     (4)    

n=1

число c называют

Теорема 2.

 Если ряд (1) сходится  и его сумма равна S, сходится и его сумма  равна cS.

то и ряд (4)

Определение 3.

 Суммой   (разностью)  двух  рядов

                        ∞                                                        ∞

+...= ∑an и   b1 + b2 +...+ bn +...= ∑bn n=1       n=1

 

a1 + a2 +...+ an называется ряд

Теорема 3

                                              ∞            ∞

. Если ряды ∑an и ∑bnсходятся и имеют

                                             n=1         n=1

и S2, соответственно, то их сумма и разность  имеют суммы  S1± S2.

суммы S1 сходятся и

Как вычислить сумму ряда???

Ряд сходиться или расходится??

Необходимый признак сходимости ряда и его следствие.

Ниже приведены несколько утверждений, позволяющих делать (в некоторых случаях) заключение о сходимости или  расходимости  рядов.

Теорема 4

(необходимый признак сходимости). 

(1) сходится, то общий член этого ряда к нулю: lim an = 0.

n→∞

Если ряд стремится

n→∞

Д-во:  an = Sn Sn−1 ⎯⎯⎯→0

Внимание!       Данный признак не является                                       достаточным! 

Пример:  Гармонический ряд   

                                                                                                                             2           n   n=1 n

1

расходится, но  an = → 0 n

Следствие (достаточный признак расходимости ряда). Если  lim an ≠ 0, то ряд (1) расходится. n→∞

Пример. Исследовать на сходимость ряд               .

n=13n + 2

                                                    2n −1     ⎡∞⎤            2−1 n     2

n→∞ n→∞ 3n + 2 ⎢⎣∞⎥⎦ = nlim→∞3+ 2 n = 3 ≠ 0. lim an = lim  =

 Значит,  ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами

Теорема 4 (первый признак сравнения). 

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами: 

                                                                                 (А)

n=1

и                                                                               (В)      

n=1

 Если для всех n,  или начиная с некоторого номера n= N , выполняется неравенство    an bn, то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А),  а из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда  (В).  Иначе говоря, если «больший» ряд сходится,  то и   «меньший» ряд сходится; если   «меньший» ряд расходится, то и «больший» ряд расходится.

                                                                                                         ∞       2n

   Пример.  Исследовать ряд ∑                   на сходимость.

2n

n=1 1+ 2  Сравним данный ряд с геометрическим рядом ,

n

n=12

который сходится  как геометрический ряд со

1  2n     2n     1

знаменателем q = <1. Имеем              <       =     для

2  1+ 22n   22n        2n

всех n,  значит,  на основании теоремы  ряд сходится.

Пример

        Решение. Сравним данный n=1 ln(n+1)

ряд с расходящимся гармоническим рядом .

                                                     1             1

Поскольку >      и гармонический ряд  ln(n +1)   n +1

расходится, то на основании теоремы   заключаем, что ряд  расходится.

n=1 n+1

Теорема 5. (второй признак сравнения). 

Если существует конечный, отличный от нуля, предел an = L, L ≠ 0, L ≠ ∞, то ряды (А) и (В) сходятся lim

n→∞ bn или расходятся одновременно.

  Пример. Исследовать  ряд                            .

                                                                                                       n=1 n   − 3n + 5

Сравним данный ряд с гармоническим рядом , который расходится. Имеем 

lim an = lim (2n −1)n        = lim                     2n2 n =

n→∞ bn         n→∞ (n2 − 3n + 5) n→∞ n2 −3n + 5

2

lim= lim= 2 ≠ 0. n→∞      3     n→∞        3

                   n (1−    +     )            1−   +

                                         n     n2                       n    n2

Поскольку 2 ≠ 0, то на основании теоремы  заключаем, что исследуемый ряд расходится.

Теорема 6 (признак Даламбера)

. Если для ряда a

               lim n+1 = l, то

n→∞ an

1 ряд расходится,

  ― нужно

an,          an > 0, существует предел

n=1

при l <1 ряд сходится,   при l > при l =1 вопрос остается открытым применять  другие  признаки.

Признак Даламбера удобно применять в тех случаях, когда в  записи общего члена ряда участвуют факториалы (!) и степени.

Пример.

n!

             Исследовать  ряд           ∑  . n

                                                                                        n!                

Решение. Так как an = n an+1 =        n+1 ,  то

                                                                                       5                     5

                  (n +1)!5n             n!(n +1) 5n                  n+1

l = lim  = lim  = lim  = ∞.  n→∞ 5n+1 n! n→∞ 5n ⋅5⋅n! n→∞ 5

Так как  ∞>1, то  исследуемый ряд расходится.

Теорема 7 (признак Коши).          Если для ряда ∞

an,       an > 0, существует предел l = lim n an , n=1        n→∞

 то при l <1 ряд сходится, при l >1 ряд расходится, а при l =1 вопрос

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
274 Kb
Скачали:
0