Математика \ Высшая математика

Понятие числового ряда и его сходимости. Члены ряда. Сумма ряда. Метод неопределенных коэффициентов

Страницы работы

12 страниц (Word-файл)

Скачать файл

Фрагмент текста работы

Понятие числового ряда и его сходимости

Пусть дана бесконечная последовательность чисел

a₁,a₂,a₃,...,a_n,... .

Числовым рядом называется выражение

∞

a₁+ a₂+...+ a_n+... = ∑a_n,

n=1

(1) где числа a₁,a₂,a₃,...,a_n,... называются членами ряда, а a_n= f (n) называется общим членом ряда.

Что есть сумма ряда ???

Отличается от суммы конечного числа слагаемых. Например, сочетательное свойство может нарушаться:

(1−1)+ (1−1)+ (1−1)+..... = 0+ 0+0+.... = 0

1−(1−1)−(1−1) −..........=1−0−0−........ =1

Для корректного определения суммы бесконечного ряда воспользуемся операцией предельного перехода.

Определение.

Частичной n― ой суммой ряда (1) сумма S_n его первых n членов:

S_n= a₁+ a₂+...+ a_n.

называется

Образуем теперь последовательность

S₁,S₂,...S_n,..., состоящую из частичных сумм ряда (1).

Определение.

Если существует конечный предел S частичных сумм S= lim S_n, то n→∞

сходящимся, а число S ― суммой

записывается этот факт как S a_n.

n=1

последовательности ряд (1) называется ряда и

Если lim S_n не существует или равен бесконечности, n→∞ то ряд (1) называется расходящимся.

Пример.

1) Исследовать на сходимость ряд

+1`−1+........ т.е общий член есть a_n= (−1)ⁿ

1−1

Решение. Так как последовательность частичных сумм имеет вид

S₁=1,S₂=1−1= 0,S₃=1−1+1=1,.....,S_n= (−1)ⁿ⁺¹ то lim S_n не существует ⇒ ряд расходится n→∞

Пример.

2) Исследовать на сходимость (по

!) ряд

ряд сходится, то найти его сумму.

определению

и, если

Решение. Общий член ряда a_n=

представим в виде двух слагаемых

1 a b

= + и найдем числа a и b

(3n −1)(3n + 2) 3n −1 3n + 2

методом неопределенных коэффициентов:

1 n(3a + 3b) + 2a −b

= .

(3n −1)(3n + 2) (3n −1)(3n + 2)

⎧3a +3b = 0, ⎧ b = −a, ⎧b = −1 3,

⎨ ⇔ ⎨ ⎨

⎩2a −b =1, _⎩2a + a =1, ⎩a =1 3.

Значит, a_n, а тогда

()+...+ ().

В этой сумме все слагаемые, кроме первого и последнего, взаимно уничтожаются.
	S_n=	.

Находим теперь

1 1 3 1 1 1 1 1

lim ( − ) = − lim = − ⋅0 =

n→∞ 6 3n + 2 6 3n→∞ 3n + 2 6 3

Итак, данный ряд сходится и его сумма равна S

∞

Ряд a + aq + aq²+...+ aqⁿ⁻¹+... = ∑aqⁿ⁻¹,a≠ 0, (2)

n=1

составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем q, называется геометрическим рядом.

Если q <1, то ряд (2) сходится и его сумма равна a

S = ; если q ≥1, то ряд (2) расходится.

1− q

Д-во:

n n

a − aq a − aq a

S_n= ⇒ lim = (q <1) =

1− q n→∞ 1− q 1− q

Ряд , называемый

2 3 n _n=1 n

⎛1 1 1 1 ⎞

гармоническим рядом, расходится. ⎜ = ( + )⎟

⎝c 2 a b ⎠

Док-во. От противного. Пусть lim S_n=S. Тогда n→∞

lim (S₂n −S_n) = lim S₂n − lim S_n=S−S = 0. n→∞ n→∞ n→∞

Но с другой стороны

(S₂n − S_n) = . Тогда n 2 2n 2

равенство lim (S_2n−S_n) = 0 невозможно.Противоречие n→∞

Обобщенный гармонический ряд если p >1 и расходится, если p ≤	n=1np		сходится,
	1.	УПР* Доказать

*Простейшие свойства сходящихся рядов.*
	Определение 1	. Если в ряде (1) отбросить первые n получится ряд r_n, называемый остатком n-го члена:
	членов, то ряда (1) после r_n
			(3)

Теорема 1

. Если ряд (1) сходится, то сходится и любой и, наоборот, если остаток (3) сходится, то ряд (1).

его остаток сходится и

Определение 2.

Произведением ряда (1) на постоянное

ряд ca₁+...+ca_nca_n (4)

n=1

число c называют

Теорема 2.

Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, сходится и его сумма равна cS.

то и ряд (4)

Определение 3.

Суммой (разностью) двух рядов

∞ ∞

+...= ∑a_n и b₁+ b₂+...+ b_n+...= ∑b_n n=1 n=1

a₁+ a₂+...+ a_nназывается ряд

Теорема 3

∞ ∞

. Если ряды ∑a_n и ∑b_nсходятся и имеют

n=1 n=1

и S₂, соответственно, то их сумма и разность имеют суммы S₁± S₂.

суммы ^S₁ сходятся и

Как вычислить сумму ряда???

Ряд сходиться или расходится??

Необходимый признак сходимости ряда и его следствие.

Ниже приведены несколько утверждений, позволяющих делать (в некоторых случаях) заключение о сходимости или расходимости рядов.

Теорема 4

(необходимый признак сходимости).

(1) сходится, то общий член этого ряда к нулю: lim a_n= 0.

n→∞

Если ряд стремится

n→∞

Д-во: a_n= S_n− S_n−1 ⎯⎯⎯→0

Внимание! Данный признак не является достаточным!

Пример: Гармонический ряд

2 n n=1 n

расходится, но a_n= → 0 n

Следствие (достаточный признак расходимости ряда). Если lim a_n≠ 0, то ряд (1) расходится. n→∞

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

n=13n + 2

2n −1 ⎡∞⎤ 2−1 n 2

n→∞ n→∞ 3n + 2 ⎢⎣∞⎥⎦ = nlim→∞3+ 2 n = 3 ≠ 0. lim an = lim =

Значит, ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами

Теорема 4 (первый признак сравнения).

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

(А)

n=1

и (В)

n=1

Если для всех n, или начиная с некоторого номера n= N , выполняется неравенство a_n≤ b_n, то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А), а из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В). Иначе говоря, если «больший» ряд сходится, то и «меньший» ряд сходится; если «меньший» ряд расходится, то и «больший» ряд расходится.