Общее решение дифференциального уравнения. Группировка слагаемых по степенях

Пример.

Найти общее решение дифференциального уравнения           y′′− 2y′+ y = 3e^2x + xe^x     (Super)

	Замечание	( x) правыми y′+ Тогда	принцип суперпозиции решений ДУ)		2(x),  , но с
	Пусть правая равна сумме а y1(x), y2( разными y′′+ p УПР*(доказать		часть ДУ      y′′+ py′+ qy = f (x)       (*) двух функций              f (x) = f1(x) + f qy = f1(x) ) есть решения с одной левой частью  частями       и    y′′+ py′+ qy = f2(x)
			y(x) = y1(x) + y2(x) есть решение	(*)

Решение.  В нашем случае   f₁(x) = 3e^2x, f₂(x) = xe^x

1)  Решение    y′′− 2y′+ y =  xe^x     ( для   f₂(x) = xe^x )

3

(см. Лекция 9)   имеет вид      y₂(x) = (C₁ +C₂x)e^x + x e^x.

6

2)  Для    f₁(x) = 3_e^2x имеем ДУ           y′′− 2y′+ y = 3e^2x  

Характеристическое уравнение имеет вид             λ² − 2λ+1= 0,    (λ−1)² = 0,     λ₁ = λ₂ =1.

Значит, общее решение   есть      y = (C₁ + C₂x)e^x. 

Так как правая часть имеет вид   3e^2⋅x и   k = 2  не совпадает с λ₁ = λ₂ =1, то  частное решение следует искать в виде:                         _y^∗ = ae^2x.

Тогда 

y^∗ = e^x(ax +b);          y′* = e^x(ax +b) + e^x ⋅a;   y′′* = 4_ae^2x

∗        ∗″       ∗″

Подставляем y , y , y в исходное уравнение, группируя слагаемые по степеням x  и вынося e^x за скобки:

y*(x) = 3e2x

e^2x(4ax − 4a + a) = 3e^2x.⇒ a = 3 ⇒

Общее решение есть       y₁(x) = (C₁ +C₂x)e^x +3e^2x.

Итак, по принципу суперпозиции общее решение для       ДУ(Super)    равно 3 y(x) = y1(x) + y2(x) = (C1 +C2x)ex +3e2x + x ex. 6

y′′+ py′+ qy = f (x),		(1)
	Как быть, если f (x)−произвольная функция?

( p,q ≠ const?)

Для нахождения частного решения	y∗(x) можно
использовать метод вариации постоянных (метод Лагранжа)	произвольных

(2)

Пусть однородное уравнение   y′′+ py′+ qy = 0     имеет общее решение 

                     y(x) = C₁y₁(x) +C₂ y₂(x)                (3)         

Будем искать  решение в виде   (метод Лагранжа            y(x) = C1(x)y1(		неоднородного	уравнения    (1)  (*)
		! )      x) +C2(x)y2(x)
	где C1(x),C2(x) −пока неизвестные функции.

Дифференцируем y′(x) = C₁′(x)y₁(x) +C₁ (x)y₁′(x)+C₂′ (x)y₂(x)+C₂(x)y₂′ (x)

Потребуем (это можем !), чтобы выражение для y′ имело такой же вид как и для y.  Для этого положим

^C₁′(x)^y₁(x) +^C₂′ (x)^y₂(x) = 0.          (А)

Тогда  имеем       

y′(x) = C₁ (x)y₁′(x)+C₂(x)y₂′ (x)

Дифференцируем полученное выражение

y′′(x) = C₁′(x)y₁′(x) +C₁ (x)y₁′′(x) +C₂′ (x)y₂′ (x) +C₂(x)y₂′′(x) Найденные    y, y′, y′′   подставим в исходное ДУ (1):

y′′+ py′+ qy =C₁′y₁′ +C₁ y₁′′+C₂′ y₂′ +C₂y₂′′+

+ pC₁ y₁′ + pC₂y₂′ +qC₁ y₁ + qC₂y₂ =(перегруппируем)=

=C₁′y₁′ +C₂′ y₂′ +C₁(y₁′′+ py₁′ + qy₁)+C₂(y₂′′ + py₂′ + qy₂)=

( ^y₁, ^y₂ − решения !) = C₁′y₁′ + C₂′ y₂′ +C₁ ⋅0 +C₂ ⋅0 = f (x)

Итак, получили систему уравнений

⎧C₁′y₁ +C₂′ y₂ = 0

                                   ⎨                                                (**)

⎩C₁′y₁′ +C₂′ y₂′ = f (x)

y₁    y

Определитель системы(вронскиан) W(x) =≠ 0

y′₁    y

Следовательно, можно найти    C₁′(x),C₂′ (x), Проинтегрировав их найдем искомые  функции

C₁(x),C₂(x)  и тем самым найдем требуемое решение неоднородного ДУ : y(x) = C₁(x)y₁(x) +C₂(x)y₂(x)

Пример                y′′+ y = tgx

y′′+ y = 0

Найдем общее решение однородного ДУ        Характеристическое уравнение λ² +1= 0,λ_1,2 = ±i.

Общее  решение ОДУ  y(x) = e^0⋅x(C₁ sin x +C₂ cos x)

По методу Лагранжа будем искать частное решение

для неоднородного ДУ в виде

подлежащие определению

y(x) = C₁(x)sin x +C₂(x)cos x) где C₁(x),C₂(x) --  функции. 

Система уравнений (**) в этом случае имеет вид

⎧C₁′ cos x +C₂′ sin x = 0

⎨                                      

⎩−C₁′ sin x₁ +C₂′ cos x = tgx

sin² x

Отсюда найдем C₁′ = −  ,   C₂′ = sin x   cos x Интегрируем:

sin² x                1                              π                             x

C₁ = −∫ dx = ∫(cosx −      )dx = sin x −lntg( +    ) + K₁ cos x   cos x       4     2

C₂ = ∫sin xdx = −cosx + K₂

Окончательно, общее решение неоднородного ДУ есть

y(x) = C1(x)sin x +C2(x)cos x= π      x =(sin x −lntg(       + )+ K1)sin x +(−cosx +K2)cosx 4    2

	Если одно дифференциальное уравнение описывает
	изменение во времени состояния одного объекта, то
	система подобных уравнений описывает динамику
	состояния системы взаимосвязанных объектов.

Однородные системы

Однородной называется система следующего вида:

⎧^⎪dydt1 = a11y1 +....+ a1n yn

⎪

⎨........................................                   (0.1)

⎪⎪dyn = an1y1 +....+ ann yn

⎩ dt

В матричной форме систему можно переписать следующим образом:

⎛dy₁ ⎞

                         ⎜⎜ dt ⎟⎟   ⎛⎜a11....a1n  ⎞⎟⎛⎜ y1 ⎞⎟          d y

⎜.... ⎟ = ⎜.................⎟⎜.... ⎟    или   = Ay

                        ⎜⎜dyn ⎟⎟   ⎜⎝an1....ann ⎟⎠⎜⎝ yn ⎟⎠            dt

⎝ dt ⎠

y=beλt

r

Будем искать решение  в виде (Эйлер):    где b - вектор постоянных множителей