2.1.4. Формализация задач. Математическое моделирование технических систем.
Формализация задач.
В своей практической деятельности человек взаимодействует с различными объектами (системами) или явлениями из своего окружения, причем это взаимодействие обычно ограничивается взаимодействием лишь с некоторыми свойствами, которые описывают объект. И хотя подобное взаимодействие может становиться все более разнообразным по мере познания объекта, оно всегда существенно ограничивается возможностями и способностями человека к восприятию конкретных свойств объекта. Поэтому человек исследует одновременно не все свойства объекта, а только какую-то их часть. С другой стороны, в большинстве случаев объекты имеют практически неисчерпаемый набор свойств, каждое из которых можно изучать. (Поэтому, как следствие, практически любой объект невозможно изучить полностью).
Таким образом, в первую очередь из всей совокупности свойств ТС выбирается набор тех свойств, которые будут исследоваться, определяется цель исследований и перечень ограничений.
С каждым свойством объекта связано множество его значений. Пример – влажность воздуха, цвет светофора. При одиночном наблюдении свойство имеет одно конкретное значение. Для определения всех возможных значений необходимо иметь множество наблюдений этого свойства, полученных по определенному правилу («шкале»). Проще всего использовать для этого пространственно-временные характеристики. Пример: время для светофора, место в зрительном зале для измерения акустических характеристик.
Для удобства оперирования с описанием свойств объекта каждому свойству ставят в соответствие абстрактный объект, называемый «переменной». Каждая переменная связывается с определенным набором значений свойств, который называют состоянием, а все множество значений – множеством состояний.
Таким образом, большинство систем в любой момент (не обязательно времени) обладают характеристиками (свойствами), которые могут быть измерены. Все множество таких характеристик называют состоянием системы в данный момент.
Аналогично, «параметром» называется абстрактный объект, который ставят в соответствие «шкале», то есть такой особенности объекта, которая позволяет различать все множество значений его свойств при выбранном множестве наблюдений. Каждый «параметр» также имеет определенное множество его значений – параметрическое множество. Часто параметр называют независимой переменной. Наиболее распространенные параметры – время и пространство.
Таким образом, различные наблюдения одной и той же переменной состояния отличаются различными значениями параметров – независимых переменных.
На отдельных множествах переменных состояния или параметрических множествах могут быть определены некоторые математические соотношения, например, отношения подчиненности, расстояния и т.п. Они отображают фундаментальные свойства объекта. Эти соотношения можно также интерпретировать как «комплекс ограничений», который накладывается на все возможные комбинации значений состояния системы.
Собственно эти математические соотношения, записанные определенным способом языком математики, и являются математическими моделями (ММ) объекта.
Итак, конечной целью формализации является подготовка условий для формальной записи ММ объекта, а сама запись, то есть построение модели уже относится к следующему этапу проектирования ТС – этапу моделирования с последующим анализом ММ. Разумеется, иногда эти два этапа – формализация и моделирование – могут тесно переплетаться.
Таким образом, процесс перехода от описания объекта в определениях его конкретных свойств к описанию в определениях абстрактных переменных состояния и независимых переменных («параметров») при определенной цели исследований и перечне ограничений называют формализацией (или абстрагированием) задачи. Обратный процесс называют интерпретацией.
Этапами формализации являются:
1. Выбор переменных состояний Si;
2. Определение всего множества значений переменных состояний;
3. Определение отношений (ограничений) между переменными состояния.
Так как мы рассматриваем «формализацию задач» как этап исследования ТС, то сначала рассмотрим понятие «системы».
Система – это множество объектов (элементов) Е={Е1, Е2, …, Еn}, которые находятся в отношениях R друг с другом. Говорят также, что система – это такая упорядоченная пара М={Е, R}, которая образует целостность или органическое единство.
Отношения между элементами системы рассматриваются в данном случае как отношения между свойствами этих элементов. Целостность системы подразумевает, что система обладает свойствами, которых нет ни у одного из элементов при любом способе ее деления на части, и эти свойства не могут быть получены из свойств элементов простым их суммированием.
Для рассматриваемых нами технических систем множество всех материальных предметов и их свойств, с которыми взаимодействуют элементы системы, называют внешней средой. ТС называется открытой, если существует обмен веществом, энергией или информацией между ней и внешней средой; в противном случае ТС называется закрытой.
Те переменные состояния ТС (свойства элемента системы или всей системы), через которые внешняя среда непосредственно влияет на ТС, называются входами системы. Аналогично, выходами ТС называются те переменные состояния, через которые ТС влияет на внешнюю среду.
В связи с этим во многих случаях системы, подсистемы и даже их отдельные элементарные компоненты рассматривают как такие, которые имеют вход (множество входов; Х1, Х2, …, Хn), выход (множество выходов; Y1, Y2, …, Ym) и множество состояний (S1, S2, …, Sk), по-другому – фазовое пространство. Количество переменных состояния (фазовых переменных) называют также степенью свободы системы. Отметим также, что когда при n переменных состояния m из них не удается наблюдать, поведение ТС воспринимается наблюдателем как недетерминированное (неопределенное).
Отдельные элементы системы могут иметь только входы, и называются активными, или только выходы, соответственно, называются пассивными, или могут быть элементами без входов и выходов (так называемые «монады»).
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.