Составление программы вычисления определённого интеграла функции. Формула Симпсона

Содержание

Задание к курсовой работе ...............................2

Теоретическая часть :

  1. Формула трапеций ...................................3

  2. Формула Симпсона .......... ........................4

  3. Формула Ньютона (правило трех восьмых) .............5

  4. Формула средних  ...................................6

  5. Автоматический выбор шага интегрирования .......... 7

Блок-схема алгоритма решения задачи .................... 8

Программа решения задачи .............................. 10

Результаты вычисления по программе .................... 12

Графическое решение задачи ............................ 13

Краткие выводы по решению задачи ...................... 14

Список используемой литературы ........................ 15

Задание на курсовую работу

Составить программу вычисления определённого интеграла функции:

f=1/((x-c)*(sqrt((sqr(x)+d)))

где

а=0

в=0.75

с=1, 1.1, 1.2

d=0.9, 0.95, 0.96

e=10^-3

По формуле трапеций

Теоретическая часть

1. Формула трапеций

            y

C              y=f(x)

 

              A                            P     B

            x0=a   x1   x2  ......     xn=b                 x    

Рис. 1

Соединим концы ординат y_i на рис. 1 прямолинейными отрезками. Тогда площадь криволинейной трапеции  аАВв приближенно можно считать равной площади фигуры, ограниченной ломаной линией  а АС...РВв. Площадь этой фигуры S равна сумме площадей трапеций

S = h ((y₀ + y₁)/ 2 + (y₁ +  y₂ )/ 2  + ... +  (y_n-1 +  y_n )/ 2 ) = (b - a) / n (y₀ / 2 + y₁ + y₂ + ... + y_n-1 + y_n / 2 ).

Таким образом, приближенное значение интеграла по формуле трапеций равно

 b

                      b-a      y0+yn   + y1+y2+ .... +yn-1        b-a        f(a)+f(b)                            

        f(x)dx      n            2                                               n              2                          f(xi)       

 a

Схема алгоритма вычисления  определенного интеграла по формуле трапеций приведена на рис. 2

Рис. 2      

1

                                                             вход

                                                           2

                                                     h=(b-a)/n

S=(f(a)+f(b))/2

x=a+h

                                                           3

                                                           i=1(1)N-1

                                                           4

                                                         S=S+F(X)

X=X+H

                                                          

                                                           5

                                                           S=S*H

                                                           6

                                                          ВЫХОД

2. Формула Симпсона

Разобъем отрезок интегрирования на 2n равных частей длиной h = (b - a) / 2n. На каждом отрезке [x _i , x _i+2 ] подынтегральную функцию f(x) заменим параболой, проходящей через точки (x _i , y_i), (x _i+1, y_i+1), (x _i+2 , y _i+2 ). Приближенное значение интеграла при этом определяется формулой Симпсона:

f(x) dx    1/3 h(y₀  +  4y₁  + 2y₂   +  4y₃  +  2y₄  +  ...  +4y_2n-1  +  y _2n ).

Для удобства программирования эту формулу преобразуем к следующему виду:

               b                                                              n                    n

          f(x) dx    1/3(b-a)/ 2n [y₀ - y_2n + 4         y_2i-1  +2          y_2i ] =

a                                                             i=1                 i=1

                                                n                           n

= 1/3(b-a)/2n [ f(a) - f(b) + 4         f(x _2i-1)  +  2         f(x _2i)]                            (4)

i=1                        i=1

Схема алгоритма вычисления определенного интеграла по формуле Симпсона приведена на рис. 3. Сумма ординат с нечетным номером обозначена именем S₁, c четным - S₂ .

Рис.3

                                                           1

                                                           ВХОД

2

                                                    h=(b-a)/2*n

x=a+h

S1=0 ; S2=0

                                                           3

                                                           i=1,(1),n

                                                           4

                                                    Si=S1+f(x)

x=x+h

S2=S2+f(x)

x=x+h

                                                              5

                                                    S=h[f(a)-f(b)+4*

*S1+2*S2]/3

                                                           6