Тяготение, кванты и ударные волны. Силы тяготения и силы инерции. Геометрия искривленного мира и закон тяготения, страница 6

До сих пор мы говорили о кривых поверхностях, на которых роль прямых играют геодезические линии. Труднее вообразить искривленное пространство, а еще труднее — искривленный мир. Ведь у мира четыре измерения: три пространственных и время. Даже плоский, неискривленный мир специальной теории относительности трудно представить себе наглядно. Тем более трудно оперировать понятиями искривленного четырехмерного мира. Но математикам удалось создать особую систему алгебраических обозначений, которая позволяет работать в области неевклидовой геометрии произвольного числа измерений, не прибегая к наглядным образам. В этих обозначениях и формулируется закон тяготения Эйнштейна.

Рассматривая кривую поверхность в нашем пространстве трех измерений, мы как бы смотрим на нее извне и поэтому заранее не сомневаемся в ее кривизне. Но на свой мир мы не можем смотреть извне. Как же убедиться в его искривлении?

Для этого удобно на некоторое время принять точку зрения воображаемого двумерного, но разумного существа, живущего на кривой поверхности и не обладающего никакими органами чувств для восприятия третьего измерения. Такое существо будет называть геодезические линии на своей поверхности прямыми, с самого начала без всяких кавычек, так как других прямых для него не существует. Сможет ли оно узнать, что его поверхность кривая, а не плоская?

Поначалу, пока ему будет доступна только небольшая часть поверхности, близкая к соприкасающейся плоскости, существо будет руководствоваться постулатами Евклида и не заподозрит, что истинная геометрия его «мира» иная. Но со временем доступная часть поверхности возрастет. Измеряя углы достаточно большого треугольника, можно будет узнать, чему равна их сумма. Если она окажется меньше двух прямых, разумное существо заключит, что на его поверхности выполняется геометрия Лобачевского, если больше — геометрия Римана. Чем длиннее стороны треугольника, тем сильнее отклонение от евклидовой геометрии; Мерой длины для сторон треугольника явится при этом радиус кривизны поверхности, так что существо может не только убедиться, что его мир искривлен, но и узнать, каков радиус кривизны. В случае сферической поверхности существо узнает также, что его мир имеет конечные размеры, несмотря на то, что нигде не заметно его границ (рис. 32).

На сфере кривизна будет одного знака — положительная и притом постоянная. На другой выпуклой поверхности кривизна тоже окажется положительной, но меняющейся от места к месту. Так, на яйцевидной поверхности сумма углов треугольника больше вблизи острого конца, чем вблизи тупого, при равной длине сторон (рис. 33). На той поверхности вращения, где выполняются постулаты геометрии Лобачевского (см. выше), кривизна отрицательная, но везде постоянная. Поэтому такая поверхность называется псевдосферой (т. е. «лжесферой»). Существуют, конечно, и поверхности с переменной отрицательной кривизной.

Итак, не выходя в пространство большего числа измерений, можно узнать об искривлении нашего мира.

Для этого надо принять, что свободное в смысле теории относительности движение происходит по геодезическим, линиям мира. В пределе, на бесконечном расстоянии от тяготеющих масс, эти линии переходят в прямые в соответствии с первым законом Ньютона. Закон тяготения Эйнштейна обобщает этот «закон инерции» для движения на произвольном расстоянии от притягивающих масс. Но зато ни второй, ни третий законы Ньютона, по крайней мере в применении к полю тяжести, не нужны: если все движения свободные, то понятие силы совершенно излишне.