Ход рассуждений Лобачевского был довольно своеобразным. Он полагал, что если система неевклидовой геометрии нигде не придет к внутреннему противоречию при своем развитии, то это и будет доказательством независимости пятого постулата от первых четырех. Надо ли говорить, что такого противоречия нигде не обнаружилось.
На это можно было бы возразить, что систему всех утверждений неевклидовой геометрии нельзя довести до конца и всегда остается какой-то, пусть и очень маленький, шанс на то, что противоречие найдется в дальнейшем. Но в отношении геометрии Лобачевского ситуация сложилась иначе. Оказалось, что в евклидовом пространстве существует некая плоская кривая, при вращении которой вокруг ее асимптоты возникает поверхность, во всех отношениях сходная с плоскостью в геометрии Лобачевского (рис. 31). Поэтому неевклидова геометрия точно в такой же мере свободна от внутренних противоречий, как и геометрия Евклида.
|
Рис. 31. Две модели плоскости Лобачевского. Слева наблюдатель, стоящий в точке О на равнине, видит две дороги АА1 и ББ1 Линию горизонта он принимает бесконечно удаленной. Тогда из точки О1 нож-но провести целый пучок прямых, нигде не пересекающих А А1 в поле зрения О. Справа — тело вращения, на поверхности которого действует геометрия Лобачевского. Сумма углов треугольника ABC меньше 180°. |
Сказанное нуждается в пояснении. Прежде всего, что следует понимать под геометрией на кривой поверхности? Что заменяет на поверхности основной элемент геометрии - прямую линию? На это очень легко ответить, взяв в руки глобус. Между любыми двумя точками земного шара можно проложить кратчайший путь по поверхности Земли. Ясно, что это будет не истинная прямая линия, которую нанести на сферу невозможно, а дуга большого круга — обстоятельство, весьма важное для навигации. Такие линии кратчайших расстояний на кривой поверхности носят название геодезических. Их можно определить не только для сферы, но, по крайней мере на малом участке, для. любой гладкой поверхности, в том числе и для той поверхности, на которой выполняется геометрия Лобачевского. Допустим, что мы построили геометрию этих кривых, целиком оставаясь в рамках обычных постулатов Евклида. После этого некий редактор как бы по недоразумению везде вычеркнул выражение «геодезические кривые» и заменил его на «прямые». Тогда снова получится правильная геометрия, но уже в смысле Лобачевского! Например, в точке всегда существует целый пучок таких «прямых», реально не пересекающихся с данной «прямой». Если убрать кавычки, то все георемы Лобачевского буквально переносятся на эту поверхность, что и доказывает их внутреннюю непротиворечивость.
Еще более простую модель плоскости Лобачевского видит наблюдатель, стоящий на равнине. Надо только условно считать линию горизонта бесконечно удаленной и все прямые на местности, не пересекшиеся до горизонта, называть «параллельными». Если взять теперь две прямые дороги, уходящие в различные точки горизонта в обе стороны и нигде в видимой части равнины не пересекшиеся, то ясно, что около каждой дороги существует целый пучок направлений прямых, не пересекающихся с другой дорогой (рис. 31).
Пример иной неевклидовой геометрии получается на сферической поверхности. Здесь роль прямых играют дуги большого круга. Две такие дуги всегда пересекаются, следовательно, в этой геометрии совсем нет параллельных. Это несовместимо с первыми четырьмя постулатами Евклида, согласно которым параллельные прямые могут существовать (пятый постулат относится к их единственности). На самом деле, дуги большого круга пересекаются в двух точках сферы, например, меридианы — в обоих полюсах, а евклидовы прямые — только в одной точке. Поэтому геометрия на сфере еще больше отличается от евклидовой, чем геометрия Лобачевского. Она называется геометрией Римана, идеи которого вплотную подвели геометров к созданию математического аппарата теории относительности.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
