Решение некоторых видов уравнений при помощи неравенств

Министерство Образования Республики Дагестан

Научно – практическая конференция

“Шаг в будущее”

  "Решение некоторых видов уравнений

при помощи неравенств"

                                                                             Автор: ученик 11^б класса РМЛ

                                                                                                 Сулейманов Фарид

                                       Научный руководитель: учитель математики РМЛ

– Махачкала   2002 –

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ УРАВНЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ НЕРАВЕНСТВ

В школьном курсе математики часто используют четыре основных метода решения уравнений: разложение на множители, замена переменной, переход от равенства функций к равенству аргументов, функционально-графический. Кроме перечисленных методов существуют и специальные. Они используются в том случае, когда уравнение громоздко решается основными методами. Рассмотрим один из специальных методов решения - решение уравнений с помощью неравенств. Этот метод рассмотрим на примерах.

Применение неравенства Коши

Для неотрицательных чисел  a₁, a₂, ..., a_n справедливо следующее неравенство

,

                                                                                         известное как неравенство Коши.

Его можно переписать следующим образом:

a₁ + a₂ + ... + a_n n.

Рассмотрим частный случай неравенства Коши для n = 2, т.е. ,                                      или  a₁ + a₂  2.

Преобразуем неравенство Коши для  n = 2:

a₁ + a₂  2,

a₁ + a₂ – 2  0,

()² 0.

Отсюда следует, что ()² = 0, если a₁ = a₂. Итак, при a₁ = a₂ в неравенстве Коши достигается равенство. Для всех других значенийn условиеa₁ = a₂ = … =a_n также обеспечивает обращение неравенства Коши в равенство.

Приведем примеры:

1. Решить уравнение: = 4x+.

  Р е ш е н и е. Область определения неизвестного:xR, x0.

          К левой части применим неравенство Коши дляn = 3. Но неравенство Коши выполняется для неотрицательных членов (множителей). Левая и правая части уравнения являются нечетными функциями. Тогда корни уравнения числа противоположные, поэтому решить уравнение для x>0. Преобразуем уравнение, умножив обе его части наx, так как x >0.

         x = 4x²+4= 4x²+4.

    Рассмотрим левую часть и оценим ее:

  =   =,

т.е.  4x²+4, а по условию = 4x²+4. Таким образом неравенство Коши обращается в равенство. Это возможно, если

       или

                                                   x= 2

Учитывая нечетность функций, входящих в уравнение, получаемx= ± 2.                         

О т в е т:    x= ± 2.

                                      1.2 Решить уравнение: 4x= 39x²+16.

Р е ш е н и е. Область определения неизвестного:xR, x > 0.

К левой части применим неравенство Коши дляn = 4. Но неравенство Коши выполняется для неотрицательных членов (множителей).

4x = 39x²+16  = 39x²+16.

Рассмотрим левую часть и оценим ее:

=

=, т.е., а по условию =. Таким образом неравенство Коши обращается в равенство. Это возможно, если

или

 x= 4

О т в е т:    x=  4.

1.3 Решить уравнение: x = 2x² + .

      Р е ш е н и е. Область определения неизвестного:xR, x > 0.

К левой части применим неравенство Коши дляn = 2. Но неравенство Коши выполняется для неотрицательных членов (множителей).

x = 2x²  +  = 2x² + .

Рассмотрим левую часть и оценим ее:

   =, т.е.   2x²+  , а по условию = 2x²+ . Таким образом неравенство Коши обращается в равенство. Это возможно, если

или

 x=

О т в е т:    x=  .

2. Решить уравнение:  +  = 1.

 Р е ш е н и е. Видно, что левая часть уравнения представляет собой функцию, которая

определена при условиях  0 и  2. Отсюда x [-2;0)  (0; 2].

          Пусть = y,  y  0. Тогда  = y²  x² = 4 –  y². С учетом обозначения исходное уравнение примет вид: