Сферические функции, оператор Лапласа в сферических кординатах, страница 4

Теорема. Пусть  на , причём . Тогда 3-я краевая задача (n- внешняя нормаль к D) не может иметь более одного классического решения.

 В силу линейности задачи достаточно показать, что однородная краевая задача.

имеет только нулевое решение.

Используя первую формулу Грина .

т.к.  в ,

следовательно,  в D, а  в тех точках поверхности где , отсюда следует, что .

Внутренняя задача Неймана.

Необходимым и достаточным условием разрешимости задачи Неймана является , где

Внешние краевые задачи

Функции регулярные на бесконечности.

Для функций регулярных на бесконечности справедливы 1-я, 2-я и 3-я формулы Грина.

Можно показать, что если гармоническая функция  0 при