Некоторые законы распределения случайных величин. Биномиальное распределение. Показательное распределение

а) Функция должна удовлетворять свойствам плотнос•м•. из первого свойслша значения нарамслра С должно быть нс меньше нуля. Но зонно определить это значение поможет второе свойство:

= f('-xdr = С

•аким образом функция Лх) является плотностью распределения при (2=2.

б) Аналогично, определим значение параметра С исходя из второго свойства плотности:

з

= fCx ²dx ^х

                                                                 3              З                           9

в) Вычислим пределы Ах) на бесконечности:

lim C •arctgx =

 2 тс. при С О эти пределы ненулевые и, следовательно, не может являться плотностью распределения. Значение С 0 также не подходит, поскольку в этом случае торос свойство заведомо не выполняется. Итак, ни при каком значснии С функция Ах) не может являться плотностью распределения.

г) Как и в предыдущем случае, функция Лх) не может являться плотностью распределения, поскольку при Сх 1 нарушатся свойство неотрицательносзи плотности.

Непрерывная случайная величина также может быть задана с помощью функции распределения, уже определенной нами в предыдущем разделе.

 Заметим, что если плотность распределения определена только для непрерывной случайной величины, то функция распределения одинаково определястся как для непрерывной, так и для дискретной случайной величины.

Свойства функции распределения непрерывной случайной величины.

4. Функция FA(x) неубывающая.

Таким образом, из первого свойства,

 34

ПРИМЕР

Найти плотность распределения случайной величины Х, если

О, если х

х, если х

1, если х Я.

Решение

По свойству функции распределения непрерывной случайной величины

(Х если х 4),

1, если х

О, если х 1.

Итак, непрерывная случайная величина можег быть задана либо с помошью плотности распределения, либо с помощью функции распределения. Но, также как и для дискретной случайной величины, мы будем рассматривал чиеловые характеристики непрерывной случайной величины, а именно математичсское ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Определение Математическим ожиДаиием непрерывной случайной величины Х называется

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины назынае1ся

Определение. СреДнекваДршпичеспьу отклонением непрерывной случайной величины называется

Если один из этих несобственных интегралов расходится, то говорят что соответствующая числовая характеристика для случайной величины Х не существует.

Замејим, что если определения математического ожидания для дискретной и непрерывной случайных величин различается, то определения дисперсии (через математическое ожидание) и среднеквадратического отклонения, в сущмости, совпадают. Друте дело, что формулы для их вычисления получаются разными для дискретых и непрерывных случайных величин.

Заметим также, что сели непрерывная случайная величина принимает значения только из некоторого интервала (a,b), то несобственные интетралы в тих определениях можно заменить на определенные с пределами а и Ь.

 35

Также как и для дискретной случайной величины. для вычисления дисперсни непрерывной случайной величины можно получить более удобную формуЛУ:

ПРИМЕР

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение для случайной величины, определенной в щкдыдушем примере.

Решение

2'

3'

1

3  - 4 12'

5. НЕКОТОРЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Биномиальное распределение.

Вспомним схему последовательных испытаний Бернулли. Пусть проводится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может либо появиться, либо не появиться, причем вероятность появления события А равна р, а вероятность непоявления этот события в каждом испытании равна Рассмотрим в качестве случайной величины Х число успехов в мой серии из п испытаний. Тогда Х может принимать n•+l различных значений, от О до п. Соответствующие вероятности определяются по формуле Бернулли:

Торим. что случайная величина Х распределена по биномишљжшу закону. Запишем лот закон в виде таблицы:

Найдем матема•мчткое ожидание и дисперсию биномиального распределения. Для того введём п вспомогательных случайных величин Л, Х. которые отвечают за результат соответствующего испытания серии, т.е.