Доверительный интервал для неизвестного параметра. Формулы построения доверительных интервалов

Страницы работы

Содержание работы

указывают интервал е- , накрывающий с заданной достаточно высокой вероятностью значение параметра Э. Интервал (Э- называется

Доверительным интервалом для неизвестного параметра Э с уровнен Доверия (т.е. с наДежностью) — Е (О Е к: 1), если вероятность того, что неизвестное значение е накрывается этим интервалом, равна 1—е:

Укажем формулы построения доверительных интервалов для параметров нормального распределения Фао, по выборке Щ, Х2, ...,Х„ объема п.

Если значение 6²известно, то доверительным интервалом параметра а с уровнем доверия у = — е будет интервал

где 5-2 , ф(х) = функция нормального

распределения, и к, находится из таблицы значений функции Ф(х) (см. таблицу в установочных лекциях для решения контрольной работы № 7).

Если значение 0²неизвестно, то доверительный интервал параметра а с уровнем доверия у = — Е имеет вид

, хну (п—

где S = — — оценка параметра о, значение

функции по распределению Стьюдента с п — 1 степенью свободы (см. прил.

Доверительный интервал для параметра б с уровнем доверия = 1 — Е равен

где — значение функции по распределению Х (см. прил. 2).

3. Критерии согласия. Приведем некоторые основные критерии согласованности статистического и теоретического законов распределения.

Пусть для данного статистического распределения найден близкий ему известный закон распределения.

Пирсон предложил следующий критерий согласованности статистического и теоретического распределений (Х -критерий). Сначала вводится величина

зо

12 = ПЕ(ч-и)2

где — относительные частоты статистического распределения, а р, вероятности, найденные из теоретического закона распределения по следующему условию:

если (4, 4) — область значений случайной величины Х, 4) < < ...< 4,

Затем, используя таблицу х²-распределения (см. прил. З) при заданном достаточно малом значении Е > О (которое называется уровнем значимости), находим значение — 1). Если Х²xt²(k— 1), то делаем вывод, что теория плохо воспроизводит эксперимент. Если же Х²< ХК (К — 1), то это означает, что гипотеза о принятом теоретическом распределении не противоречит опытным данным.

Определим критерий согласия Колмогорова-Смирнова. Пусть задано статистическое распределение

где — средние значения соответствующих интервалов случайной величины. Рассмотрим значение

Dn = F(xy ,

где Fn(x) — эмпирическая функция распределения, Ах) — теоретическая функция распределения, а п — объем выборки. Найдем величину D„cn. Затем рассмотрим функцию

где е-2Ј Для заданного уровня значимости

Е > О из таблицы значений функции Q(i) (см, прил. 4) найдем такое значение хк , при котором Q(Xt) = I — Е. Если 2 Х, , то гипотезу о согласованности эмпирического и теоретического распределений следует отвергнуть как неправдоподобную, а если DnG < Же, то гипотеза совместима с опытными данными.

ПРИМЕР 5

Даны О выборочных значений Х), Ха,

—0 531	—0 4911	—0 516	о 025	—0 483
-1 254	-0 376	-0 582	-0,727	о 004

случайной величины Х, имеющей нормальный закон распределения с неизвестными параметрами а и 0². Требуется:

1) вычислить точечные оценки а , с параметров а и 0²,

принимая а = х, о2 = (о • (Х записать функцию плотности и найти р(х > ОД);

2) построить доверительные интервалы для параметров а и б с надежностью 0,95;

3) используя Х -критерий и критерий согласия Колмогорова-Смирнова с уровнем значимости Е = 0,05, оценить согласованность эмпирического и теоретического законов распределения, разбив интервал х — 1, х +1 на 5 равных частей.

Решение