Доверительный интервал для неизвестного параметра. Формулы построения доверительных интервалов

указывают интервал е- , накрывающий с заданной достаточно высокой вероятностью значение параметра Э. Интервал (Э- называется

Доверительным интервалом для неизвестного параметра Э с уровнен Доверия (т.е. с наДежностью) — Е (О Е к: 1), если вероятность того, что неизвестное значение е накрывается этим интервалом, равна 1—е:

Укажем формулы построения доверительных интервалов для параметров нормального распределения Фао, по выборке Щ, Х2, ...,Х„ объема п.

Если значение 6² известно, то доверительным интервалом параметра а с уровнем доверия у = — е будет интервал

где        5-2 , ф(х) = функция      нормального

распределения, и к, находится из таблицы значений функции Ф(х) (см. таблицу в установочных лекциях для решения контрольной работы № 7).

Если значение 0² неизвестно, то доверительный интервал параметра а с уровнем доверия у = — Е имеет вид

, хну (п—

где S = —                                      — оценка параметра о,            значение

функции по распределению Стьюдента с п — 1 степенью свободы (см. прил.

Доверительный интервал для параметра б с уровнем доверия = 1 — Е равен

где             — значение функции по распределению Х (см. прил. 2).

3. Критерии согласия. Приведем некоторые основные критерии согласованности статистического и теоретического законов распределения.

Пусть для данного статистического распределения найден близкий ему известный закон распределения.

Пирсон предложил следующий критерий согласованности статистического и теоретического распределений (Х -критерий). Сначала вводится величина

зо

12  = ПЕ(ч-и)2

где — относительные частоты статистического распределения, а р, вероятности, найденные из теоретического закона распределения по следующему условию:

если (4, 4) — область значений случайной величины Х, 4) < < ...< 4,

Затем, используя таблицу х² -распределения (см. прил. З) при заданном достаточно малом значении Е > О (которое называется уровнем значимости), находим значение — 1). Если Х² xt² (k— 1), то делаем вывод, что теория плохо воспроизводит эксперимент. Если же Х² < ХК (К — 1), то это означает, что гипотеза о принятом теоретическом распределении не противоречит опытным данным.

Определим критерий согласия Колмогорова-Смирнова. Пусть задано статистическое распределение

где — средние значения соответствующих интервалов случайной величины. Рассмотрим значение

Dn = F(xy ,

где Fn(x) — эмпирическая функция распределения, Ах) — теоретическая функция распределения, а п — объем выборки. Найдем величину D„cn. Затем рассмотрим функцию

где е-2Ј Для заданного уровня значимости

Е > О из таблицы значений функции Q(i) (см, прил. 4) найдем такое значение хк , при котором Q(Xt) = I — Е. Если 2 Х, , то гипотезу о согласованности эмпирического и теоретического распределений следует отвергнуть как неправдоподобную, а если DnG < Же, то гипотеза совместима с опытными данными.

31

ПРИМЕР 5

Даны О выборочных значений Х), Ха,

—0 531	—0 4911	—0 516	о 025	—0 483
-1 254	-0 376	-0 582	-0,727	о 004

случайной величины Х, имеющей нормальный закон распределения с неизвестными параметрами а и 0² . Требуется:

1)  вычислить точечные оценки а , с  параметров а и 0² ,

принимая а = х, о2 = (о • (Х записать функцию плотности и найти р(х > ОД);

2)  построить доверительные интервалы для параметров а и б с надежностью 0,95;

3)  используя Х -критерий и критерий согласия Колмогорова-Смирнова с уровнем значимости Е = 0,05, оценить согласованность эмпирического и теоретического законов распределения, разбив интервал х — 1, х +1 на 5 равных частей.

Решение

                                                                              2

              1. Найдем значения а и о      

 (-0,531 - 0,491 - 0,516 + 0,025 - 0,483 - 1,254 -

- 0,376 - 0,582 - 0,727 + 0,004) = -0,4931;

 (0,2820 + 0,2411 + 0,2663 + 0,0006 + 0,2333 + 1,5725 +

+ о, 1414 + 0,3387 + 0,5285 + 0,0000) = 0,3604;

            (6 ² )•                     =                                  = 0,1173.

имеем = Дб = 0,3424, 2(6 ²)• = 0,2346. Следовательно, функция плотности имеет вид

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (О. ; т): - 0,4931)

      Р(х од) = 1-               0,1) =1- 0,5+

32

= 0,5 — ФО ,7317). По таблице значений функции Ф(х) находим ФО ,73) =0,4582. Таким образом,                0,1) = - 0,4582 = 0,0418.

2. Найдем границы доверительного интервала параметра а Ж),

где

10-1

9

По прил. находим '195(9) = 2,31. Тогда

0,3610

—0,7568 ,

0,3610

= -0,2294. мЛб  Ji6

Таким образом, доверительный интервал параметра а с надежностью 0,95 равен (-0,7568; -0,2294).

Найдем теперь границы доверительного интервала для параметра о. По прил. 2 имеем 40,95, 10) = 0,65, Тогда

0,3610 • (1 -0,65)   < 0,3610 • (1 + 0,65), 0,1264           < 0,5957.

Таким образом, доверительный интервал для б равен (ОД 264; 0,5957),

3. Оценим согласованность данного эмпирического и найденного теоретического распределения по х² -критерию. Составим таблицу частот

	(—1 ,4931 ; _1,0931)	(-1,0931; -0,6931)	(-0,6931; -0,2431)
	(-1,2931; 0,1069)	(0,1069; 0,5069)
	2

и таблицу относительных частот для середин интервалов

х	-1 ,2931	—0,8931	—0,4931	—0,0931	0,3069
	од		0,6	0,2

Ц, -(-O,4931)

Вычислим вероятности                                           ) = 0,5+ 0,3424

33