Таблица, устанавливающая соответствие между значениями случайной величины и их относительными частотами

Таблица, устанавливающая соответствие между значениями случайной величины и их относительными частотами, называется статистическим распреДелением случайной величины Х

Например, для выборки (3, 2, —1, 2, 3,0) вариационный ряд имеет вид

О, 2, 3), п = б, = 1, п, = 1, = 2, = 2, а статистическое распределение —

Для непрерывной случайной величины Х ее статистическое распределение целесообразно представить в виде интервальной таблицы

где Wi — относительная частота попадания случайной величины в интервал (4-1, 4). При этом если случайная величина принимает значений, равных „З, то для четного половину этих значений относят к интервалу 4), а вторую половину — к интервалу (4, 4+1). Для нечетного к левому интервалу

относят    значений, а к правому интервалу             значений. 2           2

Функция определяющая для каждого значения х относительную частоту Щ события Х х (где пх — число наблюдений, при которых наблюдалось значение, меньшее х): называется эмпирической функцией распределения. При этом функция F(x) распределения генеральной совокупности называется теоретической функцией распреДеления.

Эмпирическая функция распределения Fn(x) соответствует статистическому распределению и при возрастании п стремится по вероятности к функции ах), т.е. для любого х R и любого Е > О имеет место равенство

lim POFn(x)— = О.

Это означает, что при больших п эмпирическая функция распределения хорошо приближена к теоретической функции распределения ах).

22

Для наглядного изображения статистических распределений строят различные графики.

Если Х — дискретная случайная велйчина, строится ломаная, отрезки которой соединяют точки (х, , щ), (Ч, ик), (хк, Ч). Такая ломаная называется полигоном распределения.

Для иллюстрации распределения непрерывной случайной величины Х строятся диаграммы, называемые гистограммами. Для лого интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения, разбивается на равные части с шагом  1, 2 , К, и для каждого i определяется сумма частот

вариант, попавших в интервал (4-1, 4).

Гистограмма частот представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются отрезки Ц, з, а высоты равны , К. Площадь гистограммы частот равна

сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой относительных частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых являются отрезки

, а высоты равны  К. Площадь гистограммы

относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице. Гистограмма относительных частот позволяет приближенно судить о функции плотности распределения, поскольку при достаточно больших п и малых h ломаная, соединяющая середины верхних горизонталей прямоугольников. приближена к функции плотности. Указанную ломаную будем называть ломаной гистограммы.

Выборочным среДним значением случайной величины Х, заданной статистическим распределением, называется выражение

или

аналогично определяется генерааьное среДнее значение

                                                                                       (1)

где         [У . Так как -Т =Й — вероятность, с которой величина Х принимает

значение то равенство (1) переписывается в виде

23

В соответствии с законом больших чисел при достаточно большом п выборочное среднее значение хв приближенно равно математическому ожиданию М(Х). Поэтому для больших п часто считают, что хв = М(Х).

Статистической Дисперсией случайной величины Х, заданной статистическим распределением, называется выражение

                                                            + w2(x2         ²

          Величина                                       (Х) называется среДним кваДратичным

отклонением.

При большом объеме выборки имеет место следующее приближенное равенство: Ы (Х) Ц Х). Поэтому для достаточно больших п часто считается, что D• (Х) = Ц Х) и о • (Х) =

Для подсчета величины В (Х) пользуются формулой

ПРИМЕР 4

В результате испытаний случайная величина Х приняла следующие значения: хо- 2,  Хв= 1,

Требуется:

) построить статистическое распределение;

2) построить эмпирическую функцию распределения;

З) изобразить полигон распределения;

4)  считая величину Х непрерывной, составить таблицу статистического распределения, разбив промежуток (О; 10) на пять участков, имеющих одинаковые длины; построить гистограмму относительных частот и ее

ломаную;

5)  найти выборочное среднее значение, статистическую дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Х.

Решение

1.  Составим таблицу частот:

Контроль: 0,167 + 0,167 + 0,083 + 0,25 + 0,167 + 0,083 + 0,083 = (при округлении нужно учитывать, что сумма относительных частот должна быть равна единице).

2.  Имеем

График функции Е изображен на рис. 9.

3.  Возьмем на плоскости точки О; 0,167), (2; 0,167), (3; 0,083) и т.д. Последовательно соединив эти точки отрезками, получим полигон распределения (см. рис. 10).

25

Рис. 10

4.  Составим таблицу частот

На рис. изображена гистограмма относительных частот, а пунктиром показана ее ломаная.

5.  Найдем выборочное среднее значение случайной величины Х:

= 4,33.

Для вычисления статистической дисперсии определим выборочное среднее