Методическое руководство по курсу математики. События, их вероятность, действия

Методическое руководство по курсу

Прежде всего нужно усвоить основные понятия теории вероятностей. Для этого представляется схема основных понятий:

1. Классическое определение вероятности события прочтите на странице 5, геометрическое определение – на странице 16. Для использования классического определения необходимы элементы комбинаторики. Разберите примеры решения задач на страницах 6 – 9. Пример использования геометрического определения – задача о встрече на странице 17.

2. Действия над событиями удобнее всего понять на диаграммах Эйлера-Венна на рисунке 1. В связи с действиями над событиями возникает естественная необходимость выражать вероятности произведения и суммы событий  А и В через вероятности самих событий А и В. Для этого служат теоремы умножения (страница 11) и сложения (страница 12). На основе этих теорем выводятся формулы полной вероятности (страница 13) и Байеса (страница 14).

3. Наиболее прикладным понятием теории вероятностей является понятие случайной величины, конечно, основанное на понятии события. Определение случайной величины прочтите на странице 26. Все случайные величины делятся на дискретные и непрерывные т.е. на величины значение которых представляют собой отдельные точки на числовой оси, и на величины, значение которых сплошь заполняют некоторый интервал.

4. Определение дискретной случай как величины смотрите на странице 26. Дискретная случайная величина чаще всего описывается законом распределения, который удобнее всего задавать таблицей (смотрите на страницах 26 – 27). Универсальным способом задания любых случайных величин является функция распределения. Смотрите определение на странице 27.

5. Определение непрерывной случайной величины смотрите на странице 32.  Непрерывная случайная величина задается либо функцией распределения,  либо плотностью распределения, которую иногда называют дифференциальной функцией распределения. Определение этой функции и ее свойства смотрите на странице 33.

6. Чтобы работать со случайными величинами, необходимо знать их числовые характеристики. Самая известная и понятная числовая характеристика – математическое ожидание, вероятный смысл которого состоит в том, что это среднее значение случайной величины, т.е. величина уже не случайная, а постоянная. Определение математического ожидания дискретной случайной величины смотрите на странице 28, определение математического ожидания непрерывной случайной величины смотрите на странице 35. Однако знание одного среднего значения явно не достаточно. Если на одной пачки с семенами обозначена всхожесть 80%±5%, а на другой – 80%±10%, то любая хозяйка, из соображений здравого смысла предпочтет семена из первой пачки, потому что, с ними меньше риска. Следовательно, помимо среднего значения нужно знать величину от ее среднего значения. Дисперсия случайной величины оценивает квадрат такого отклонения, а среднее – квадратичное отклонение случайной величины оценивает само такое отклонение. Отклонения дисперсии и среднеквадратичного отклонения смотрите на страницах 30 и 31. Конечно, числовых характеристик гораздо больше, но три выше перечисленные являются самыми простыми и самыми важными.

7. После краткого знакомства с понятием случайной величины очень полезно рассмотреть конкретные примеры дискретных и непрерывных случайных величин. Первым таким примером дискретной случайной величины служит биноминально распределенная случайная величина, равная числу успехов в схеме Бернулли. Определение схемы Бернулли смотрите на  странице 18, а определение и свойства биноминального распределения – на странице 36.

8. Вторым примером дискретного распределения является распределение Пуассона. Его определение и свойства смотрите на странице 37. Заметим, что случайная величина, равная числу наступлений события в единицу времени (или пространства), как правило, имеет именно такое распределение. Классические примеры – число вызовов на телефонной станции в единицу времени или число микроорганизмов в единице площади в поле зрения под микроскопом.

9. Важнейшим примером непрерывной случайной величины служит, нормально распределенная случайная величина. Такие величины очень часто встречаются в практике. Достаточно сказать, что все ошибки измерений, многие биологические и социологические характеристики имеют нормальное распределение. Из двух способов задания непрерывной случайной величины – функции распределения и плотности распределения вероятностей – второй, является более наглядным. так что нормально распределенная случайная величина задается своей плотностью. Смотрите определение на странице 40. Обратите внимание на две функции, связанные с нормальным распределением: функции Гаусса ψ(x), определенную на странице 21 и функцию Лапласа φ(x), определенную на странице 25. Для нормированной нормально распределенной случайной величины функция ψ(x) служит плотностью, а функция 0,5+ φ(x), служит функцией распределения. В нашем пособии эти функции появляются при рассмотрении схемы Бернулли. Это объясняется тем, что биномиальное распределение при достаточно больших и приближенно описывается нормальным распределением. Этот факт лишний раз подтверждает важность нормального распределения.

10. Еще одним примером непрерывной случайной величины служит величина, распределенная по показательному закону. Смотрите определение на странице 39.

11. И, наконец, последняя непрерывная случайная величина, рассмотренная в нашем пособии – равномерно распределенная. Ее определение смотрите на странице 38.

Краткое описание всех примеров случайных величин смотрите в таблицах на страницах 43 – 44.

12. На практике очень часто приходится иметь дело не с одной случайной величиной, а с суммой достаточно большого числа случайных величин. Например, ошибка измерения зависит от состояния измерительного прибора, освещения, температуры и т.д. Поэтому очень важно понимать, как ведут себя такие суммы. Законы распределения таких сумм и описывают теоремы, объединенные общим названием «Закон больших чисел».

Материалы, относящиеся к данному курсу, можно посмотреть по следующим адресам:

http: //www.nuru.ru/teorver.htm

http: //www.intuit.ru/department/mathematies/intprobtheory/4/2.html

http: //www.psati.ru/online-tv/page-03.html