Математика \ Математические основы информатики и САПР

Оптимальные параметры и экстремумы целевой функции методом дифференцирования и градиентным

Страницы работы

Уважаемые коллеги! Предлагаем вам разработку программного обеспечения под ключ.

Опытные программисты сделают для вас мобильное приложение, нейронную сеть, систему искусственного интеллекта, SaaS-сервис, производственную систему, внедрят или разработают ERP/CRM, запустят стартап.

Сферы - промышленность, ритейл, производственные компании, стартапы, финансы и другие направления.

Языки программирования: Java, PHP, Ruby, C++, .NET, Python, Go, Kotlin, Swift, React Native, Flutter и многие другие.

Всегда на связи. Соблюдаем сроки. Предложим адекватную конкурентную цену.

Заходите к нам на сайт и пишите, с удовольствием вам во всем поможем.

Содержание работы

Цель работы: найти оптимальные параметры и экстремумы целевой функции y=5+3x₁+2x₂+0,5x₁x₂-0,5x₁²-0,3x₂² методом дифференцирования и градиентным.

Метод дифференцирования

y=5 +3x₁+2x_{2 +}0,5x₁x_{2 -}0,5x₁^{2 -}0,3x₂²
по x1:	3+0,5x_{2 -}x₁=0	x₁=0,5x₂+3
по x2:	2+0,5x_1-0,6x₂=0	2+0,5(0,5x₂+3)-0,6x₂=0

x₁=	8
x₂=	10
y=	27

Итак методом дифференцирования мы нашли экстремум равный 27 при значениях х₁=8 и х₂=10.

Градиентный метод

В данной лабораторной работе при градиентном методе мы сами выбираем начальные значения х₁₀ х₂₀, интервалы варьирования Dх₁ и Dх₂, а также рабочий шаг.

x₁₀	x₂₀	dx₁	dx₂	шаг
1	1	0,5	0,5	1

Все вычисления проведенные для обнаружения экстремума градиентным методом удобно представить в виде таблици.

x₁₀	x₂₀		x₁(x_10-dx₁)	x₁(x₁₀+dx₁)		x₂(x₂₀dx₂)		x₂(x₂₀+dx₂)
1	1		0,5	1,5		0,5		1,5
3,5	2,9		3	4		2,4		3,4
4,45	4,91		3,95	4,95		4,41		5,41
5,455	6,189		4,955	5,955		5,689		6,689
6,094	7,203		5,5945	6,5945		6,7031		7,7031
6,602	7,928		6,10155	7,10155		7,42849		8,42849
6,964	8,472		6,464245	7,464245		7,972171		8,972171
7,236	8,871		6,736086	7,736086		8,370991		9,370991
7,435	9,166		6,935495	7,935495		8,666439		9,666439
7,583	9,384		7,08322	8,08322		8,884323		9,884323
7,692	9,545		7,192162	8,192162		9,045339		10,04534
7,773	9,664		7,27267	8,27267		9,164216		10,16422
7,832	9,752		7,332108	8,332108		9,252021		10,25202
7,876	9,817		7,376011	8,376011		9,316863		10,31686
7,908	9,865		7,408431	8,408431		9,36475		10,36475
7,932	9,9		7,432375	8,432375		9,400116		10,40012
7,95	9,926		7,450058	8,450058		9,426234		10,42623
7,963	9,946		7,463117	8,463117		9,445523		10,44552
7,973	9,96		7,472761	8,472761		9,459767		10,45977
7,98	9,97		7,479884	8,479884		9,470288		10,47029
7,985	9,978		7,485144	8,485144		9,478057		10,47806
7,989	9,984		7,489028	8,489028		9,483795		10,48379
7,992	9,988		7,491897	8,491897		9,488032		10,48803
7,994	9,991		7,494016	8,494016		9,491162		10,49116
7,996	9,993		7,495581	8,495581		9,493473		10,49347
7,997	9,995		7,496736	8,496736		9,495179		10,49518
7,998	9,996		7,49759	8,49759		9,49644		10,49644
y1⁽¹⁾		y1⁽²⁾			y2⁽¹⁾		y2⁽²⁾		dy/dx₁=a₁	dy/dx₂=a₂	y=a₀+a₁x₁+a₂x₂
8,325		10,825			8,675		10,575		2,5	1,9	4,4
17,127		18,077			16,647		18,657		0,95	2,01	9,154
21,33357		22,33857			21,24657		22,52557		1,005	1,279	10,75214
23,8091187		24,4486187			23,6718187		24,6859187		0,6395	1,0141	9,7647374
25,12396147		25,63101147			25,06479147		25,79018147		0,50705	0,72539	8,315272934
25,87692677		26,23962177			25,83643377		26,38011477		0,362695	0,543681	6,704918549
26,29363537		26,56547587			26,28014567		26,67896557		0,271841	0,39882	5,272034234
26,53234709		26,73175704			26,53432796		26,82977617		0,19941	0,295448	4,06386583
26,66863258		26,81635669			26,68355251		26,90143677		0,147724	0,217884	3,095624704
26,74825964		26,85720177			26,77222283		26,93323858		0,108942	0,161016	2,33715601
26,79532991		26,87583779			26,82614517		26,94502253		0,080508	0,118877	1,754004399
26,82378283		26,88322151			26,85959973		26,94740462		0,059439	0,087805	1,310562673
26,84132372		26,88522616			26,8808543		26,94569559		0,043902	0,064841	0,976182392
26,85239475		26,8848154			26,89466121		26,94254895		0,032421	0,047888	0,725452738
26,85954023		26,8834841			26,90382946		26,93919488		0,023944	0,035365	0,538229493
26,86425636		26,88193907			26,91003866		26,93615676		0,017683	0,026118	0,398838135
26,86743295		26,88049201			26,91431818		26,93360678		0,013059	0,019289	0,295283334
26,86961198		26,87925628			26,91731165		26,93155661		0,009644	0,014245	0,218472287
26,87113013		26,87825261			26,9194313		26,92995144		0,007122	0,01052	0,161563946
26,87220164		26,87746171			26,92094702		26,92871632		0,00526	0,007769	0,119436832
26,87296587		26,87685052			26,92203932		26,92777707		0,003885	0,005738	0,088271082
26,87351549		26,87638437			26,92283122		26,92706864		0,002869	0,004237	0,065225106
26,87391333		26,87603205			26,92340799		26,92653739		0,002119	0,003129	0,048189155
26,87420275		26,87576746			26,92382955		26,92614066		0,001565	0,002311	0,035599033
26,8744141		26,87556966			26,92413848		26,92584528		0,001156	0,001707	0,026296225
26,87456887		26,87542227			26,92436532		26,92562582		0,000853	0,00126	0,019423333
26,87468246		26,87531271			26,92453213		26,92546303		0,00063	0,000931	0,014346163

x₁₀ и x₂₀находятся как сумма значения предыдущего шага и произведения его а1 на шаг варьирования, x₁(x₁₀-dx₁) сдвиг от данного значения шага (влево, вправо, вверх, вниз).

Видно, что значение последнего шага практически совпадает с значением экстремума при использовании дифференцируемого метода равного 27. Оптимальные параметры такэе совпадают x₁=7,998 а х₂=9,996.

Вывод: Проделав лабораторную работу были найдены оптимальные параметры и экстремум целевой функции, причем было отмечено что дифференцируемый метод более быстрый, можно даже сказать молниеносный по сравнению с градиентным методом, но у каждого метода есть недостатки, и этот недостаток дифференцируемого метода низкая точность, градиентный же обладает исключительной точностью по сравнению с дифференцируемым, и сама техника нахождения экстремума в градиентном методе проста, но то количество вычислений которое пришлось выполнить сводит на нет все преимущества.