Метод координат в классах с углубленным изучением математики

Метод координат  в классах с углубленным изучением математики.

С методом координат в пространстве учащиеся знакомятся в курсе геометрии 11 класса. После ознакомления с прямоугольной системой координат, учащиеся выводят уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Математическим аппаратом при этом является скалярное произведение векторов.

Доказывается теорема: Всякое уравнение I степени ax+by+cz+d=0 относительно текущих координат есть уравнение плоскости, нормальным вектором которой является вектор n(a, b, c).

Пусть a: ax+by+cz+d=0 – уравнение некоторой поверхности. Возьмем произвольную точку  при . Составим уравнение плоскости ,  поверхность совпадает с плоскостью, следовательно  - уравнение плоскости.

б) Различные случаи расположения плоскости.

d=0   Þ О(0;0;0) Î a

   проходит через Ох

 проходит через Ох

 || Ох

   проходит через Оу

   

 || Оу с=0    проходит через Oz

 || Oz

Учащиеся должны уметь выводить уравнение плоскости по трем точкам. С этим заданием желательно познакомить учащихся через конкретную задачу. Из всех способов решения самым рациональным является следующий.

Задача. Даны три точки А(1;2;3), В(2;2;2) и С(1;3;3). Записать уравнение плоскости (АВС).

Решение.

1.  Пусть нормальный вектор  имеет координаты: . Тогда он будет перпендикулярен векторам АВ и АС.

, .

2.          

3. Составим уравнение плоскости (АВС) по точке А и нормальному вектору:

; 

Получим формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.

Задача. Даны плоскость a: ax+by+cz+d=0 и точка А(x₀;y₀;z₀). Найти расстояние от точки до плоскости.

Решение.

	А

 

                                                                       

j

                                             

 

Возьмем произвольную точку В плоскости a.  

Пусть , тогда , т.е. ;

, где  - угол между векторами  и .       

В треугольнике АВС: , тогда

; (1)

подставим в формулу (1) координаты, получим:

Учащиеся выводят уравнения прямых: а) по точке и направляющему вектору;

б) по двум точкам;

в) параметрические уравнения прямой.

Затем рассматривается взаимное расположение прямых:

                  1)

                  2)

l2

А

                                                          3)

                                                          4)  

 

d

      (2)

Задача: 

Найти расстояние между прямыми  и .

Алгоритм решения задачи:

1. Найдем нормальный вектор  для  и

         

   ,  , 

Найдем расстояние между прямыми по формуле (1).

2.

           

Т.к. прямые  и  не параллельны и расстояние не равно нулю, то эти прямые скрещивающиеся.

Затем учащиеся выводят уравнение сферы, уравнение (неравенство) шара.

Задание фигуры в пространстве Ф(x,y,z)=0

Знакомятся с другими системами координат:

					а

 

1

                                                                  полярная    

М(r;j;z)

M

      

 

цилиндрические координаты

Сферические координаты: географические (широта, долгота)

сферические координаты