Конечный предел суммы. Функция определения на промежутке

Пусть f(x) задана в некотором промежутке . Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между а и в точки деления х₀<x₁<…<x_i<x_i+1<…<x_n. Наибольшую из разностей Δx_i = x_i+1-x_i (i = 0,1,2,…,n-1)будем впредь обозначать через d(p). Возьмем в каждом из частичных промежутков (x_i,x_i+1) точку x=ξ_i,т.е. x_i ≤ ξ_i≤ x_i+1 (i = 0,1,2,…,n-1) и составим сумму  

Сумма s_p при d(p)→0 имеет (конечный) предел I, если для каждого числа ε>0 найдется такое число δ>0, что, лишь только d(p)< δ, неравенство  выполняется при любом выборе чисел ξ_i. Записывают это так: .

Конечный предел I суммы s_p при d(p)→0 называют определенным интегралом функции f(x) в промежутке (а,в) и обозначается символом I=. В случае существования такого предела функция f(x) называется интегрируемой в промежутке . Данное определение принадлежит Риману. Заметим, что определенный интеграл может существовать лишь для класса ограниченных функций. Если предположить, что f не является огр. на , то обязательно будет существовать - значение функции сколь угодно большие (по модулю).

f(ξ_i)- сколь угодно большим => интегральная сумма является сколь угодно большим числом => конечный предел не существует.

Функция определенная на промежутке  и обладает определенным интегралом   называется интегрируемой на  по Риману.

Если функция интегрируемой по Риману, то она необходимо ограничена на .

f – обязательно достигает своего min и max, обратное не верно.

f (ξ_k)= inf (f(x)) на  => inf = m_k

f (ξ_k)= sup (f(x)) на  => sup = M_k

s_p=- нижняя сумма Дарбу

S_p= - верхняя сумма Дарбу

Если функция непрерывна на , то она непрерывна в любой его части (),т.е. =>функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения на данном отрезке. Поэтому для непрерывных функций существует нижняя и верхняя суммы Дарбу.

Нижняя сумма Дарбу – сумма произведений длин отрезков разбиения на наим значении функции на каждом отрезке. s_p=, x , = inf (f(x))

Верхняя сумма Дарбу – сумма произведений длин отрезков разбиения на наиб значении функции на каждом отрезке. S_p=, x , = sup (f(x))

Свойства:

1⁰Если к имеющимся точкам разбиения р на отрезке  добавить новые точки, то нижняя интегральная сумма может лишь возрасти, а верхняя интегральная сумма может лишь уменьшиться

Для доказательства достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся точкам деления еще одной точки.

Пусть точка х’ попадает; ;,

Пусть M_k – наибольшее значение на

, ,

;

;   (2)

Т.о. имеем два разбиения р и р₁, которые отличаются на 1-у точку. ,

В данных суммах почти все данные одинаковы, кроме одного. Разбивается так, что выполняется условие (2) => вся интегральная сумма может лишь уменьшиться .

Аналогично рассуждения проводятся для нижней интегральной суммы.

2⁰Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней, хотя бы отвечающей другому разбиения промежутка.

Пусть Р₁ и Р₂ два произвольных разбиения. Рассмотрим 3-е разбиение в котором объединим те и другие точки разбиения. Получим вспомогательное разбиение Р₃.Можно считать, что третье разбиение получили из 1-ого добавлением точек =>  Можно считать, что третье разбиение получили из 2-ого добавлением точек =>

Критерий интегрируемости.

Для того, чтобы огр. функция f:  была интегрируема по Риману на ó чтобы

=>^H Т.д.

 выполняется интегральная суммы => она выполняется для верх и нижней суммы Дарбу.

 из этого следует

ð lim(S_p-s_p) = limS_p- lims_p=I-I=0

<= ^Д  из нер-ва ()

, ,

 перейдем к пределу  - lim(S_p-s_p)  lim(S_p-s_p)=> по теореме о сжатой переменной ó

Теорема: Если функция f: является непрерывной на , то она интегрируема на этом отрезке по Риману, т.е.  I=.

I=ó

Выберем произвольно по лемме(если f: , непрерывна на , то найдется хотя бы одно разбиение такое, что  k=1,2,3,…,n-1 для ) существует разбиение  (), ( k=1,2,3,…,n-1)(). Построим интегральную сумму Дарбу по этому разбиению и найдем разность -=

; ;

ð => => разность сумм Дарбу будет сколь угодно малой =>  это возможно тогда и только тогда, когда функция интегрируема на .

Свойства определенного интеграла

1⁰ Если f интегрируема на  и a < c < b, то f интегрируема на и.

Возьмем произвольное разбиение. Возможны два случая

1)  с – совпадает с одной из точек деления

2)  с – не совпадает ни с одной из точек деления

Докажем 1): с = x_m, тогда разбиение р порождает разбиение р₁ на и р₂ на .Найдем разность интегральных сумм Дарбу=()+().Легко видеть, что > 0 и  > 0.

и . Перейдем к пределу по теореме о сжатой переменной =>   и , это возможно тогда и только тогда, когда существует определенный интеграл.

Докажем 2).: для второго случая получим неравенства

 и . По теореме о сжатой переменной .

2⁰ Если f(x) интегрируема на , то и с *f(x)так же интегрируема на , где с = const и причем

=с

3⁰ если f(x) и g(x) интегрируема на , то интегрируема  и функция f(x)  g(x), причем =

Рассмотрим интегральную сумму Прейдя к пределам получим требуемую формулу.

4⁰ Если f(x) не отрицательная и интегрируема на , то .

Действительно каждое слагаемое в интегральной сумме не отриц =>и сама интегральная сумма больше 0.

5⁰ если f(x) и g(x) интегрируема на ,и всегда f(x)  g(x), , то .

Применим 4⁰ (g(x)-f(x))    

Расписываем по предыдущим свойствам и получим требуемое.

6⁰ если g(x) интегрируема на  и

, то m(b-a) M(b-a)

Применим 5⁰ к двойному неравенству mM,  k=1,2,3,…,n-1,

m M, m(b-a) M(b-a)

7⁰ Теорема о среднем: пусть f(x) интегрируема на , и пусть на всем промежутке m  f(x) M, тогда =μ(b-a), m μ M.

Из 6⁰имеем m(b-a) M(b-a), mM, обозначив = μ, получим m μ M, =μ(b-a).

Для f(x) на  всегда существует первообразная и примером ее является