Системы линейных уравнений. Матрица системы. Решение системы

15. Системы линейн. ур-ий

Пусть имеем линейн. с-му ур-ий вида

Таблица, составленная из коэффициентов при неизвестных называется матрицей с-мы.

Матрица одностолбцовая состоит только из свободных членов, расширенная состоит       из коэффициентов при неизвестных и свободных членов.

О: Если в системе все свободные члены равны 0, то система однородная. Если хотя бы один из коэффициентов не равен 0, то — неоднородная. Решение системы- набор из п чисел таких, что если заменить на с тем же набором в системе то получим верное рав-во. ()

Если с-ма имеет решение то она назыв. совместной(1 единатвен. решение (определённый); бесконечно много(неопределённое), не имеет- несовмест.

О:2 с-мы равносильны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое мн-во решений.

Элементарные преобразования с-м ур-й, теорема о равносильности:

1.  поменять местами ур-ие си-мы

2.  умножить любое ур-ие на число отличное то 0

3.  умножить любое ур-ие на любое число и «+» к любому другому ур-ию

Т: Любое из элементарн. преобразований с-мыпреобразует с-му в равносильную ей с-му.

М- мн-во реш-й с-мы (1)

К^*- мн-во реш-й с-мы (2)

Т.д. М=К^*

Проведём рассуждение в обратном порядке, имеем си-му (1) вторе ур-ие «*» на  и прибавим к первому

Т: Если к с-ме (1) применить конечное число элементарн. преобразований 1-3 то получ. с-ма равносильная исходной.

Док-во: методом мат. индукции.

Б.И. к=1 теорема верна

Ш.И. при каком то натуральном к теорема верна, док-ем что теорема верна если применить (к+1) преобразование

МЕТОД ГАУСА

Пусть имеем с-му (1), среди эл-ов первого столбца есть хоть один отличный от 0

В ходе преобразований получим

Частным решением назыв. решение кот. получена из общего решения при произвольном наборе свободных эл-ов.

ПРАВИЛО КРАММЕРА

Применяется : когда число ур-ий равно числу неизвестных, rand основной матрицы равен п

Имеем с-му

Применимость

1.

2. с-ма имеет единственное решение

Критерий совместности с-м ур-й (теорема Кронекера-Капелли)

С-ма линейн. ур-ий совместна тогда и только тогда, когда rang основной матрицы равен rang расширенной матрицы этой с-мы.

Реал-я осн-х принципов дид-ки при из-и систем уравнений.

Сис-мы двух ур-й из-ся в 7кл. 8 кл. с 2-я неизвестными  Ввод-ся пон-е решения систем ур-й. Рассм-ся способы решения: способ подстановки, способ сложения, граф-й способ решения систем ур-й. Решение задач с пом. систем ур-й.

Система ур-ий может состоять из нескольких уравнений с несколькими перемен- ными. В школе изучаются системы уравнений с двумя переменными. Решить с-му с двумя переменными — это значит найти все пары (х,у), которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Система называется определенной, если она имеет конечное число решений, и неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений. При решении системы уравнений можно от данной системы переходить к равносильной системе и так далее, пока решение системы не будет получено или будет очевидно, что данная система не имеет решений. Две системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Систему уравнений можно решать графически. Прежде чем решать с-му линейн. ур-ий, можно определить число её решений .

Если коэф. при х и у не пропорциональны, то с-ма имеет единствен. решение  если решать графически, то гр. ф-ий пересекутся в одной точке. Коэф. при х и у пропорциональны, а свободные члены не пропорцион. то с-ма не имеет решение  гр. параллельные прямые. Коэф. при х и у и свободные члены пропорциональны, то с-ма  имеет бесконечное мн-во решение .

Способы решений ур-ий

1. подстановки (в одном из уравнений выражают одну переменную через другую. Полученное выражение подставляют в другое уравнение, которое после этого обращается в уравнение с одной переменной, а затем решают его. Получившиеся значения этой переменной подставляют в любое уравнение исходной системы и находят вторую переменную.)

2. сложения (если данная система состоит из уравнений