Описание частотной характеристики одномодового оптоволокна

4.2.Уточнённая модель

Полное аналитическое описание частотной характеристики ООВ связано с операциями над трансцендентными уравнениями и приводит к выражениям, сложность которых затрудняет непосредственный анализ их использования для последующих действий с характеристикой.

Полная дисперсия ООВ, как было сказано ранее, состоит из материальной и волноводной составляющих, которые могут быть непосредственно измерены.

Материальная дисперсия:

dt_g=-(l/c)l[d²n(l)/dl²]dl ;                           (4.2.1)

волноводная дисперсия:

dt_l=-(l/c)w[d²b(w)/dw²]dw ,                         (4.2.2)

где l – длина волокна, c – скорость света, n(l) – зависимость показателя преломления от длины волны l, а b(w) - зависимость постоянной распространения от частоты w.

На основании (4.2.1) получаем:

dt_g=-(l/c)w[d²n/dw²]dw ;                    (4.2.3)

где dw - ширина спектра излучения лазера или спектра модуляции (выбирается наибольшее значение). Затухание ООВ для всей области частот, вплоть до частоты отсечки второй моды, может быть принятым постоянным (a=const), поэтому в пределах одномодового режима модуль ЧХ |K_E(w)|=1, и следовательно, частотная характеристика

K_E(jw)=e^jb(w)×l .                          (4.2.4)

          Воспользуемся следующими исходными выражениями применительно к основной моде ООВ со ступенчатым профилем n(r):

b=(1/a)[(n²/2D)-u²]^1/2,                         (4.2.5)

где a – радиус сердцевины ООВ, u=g₁a; g₁,g₂ – поперечные волновые числа для сердцевины и оболочки соответственно;

n²=u² + w²; w=g₂×a; g₁²=k₁² - b²; g₂²=b² - k₂², k₁,k₂ – волновые числа сердцевины и оболочки соответственно; k_1,2=(2p/l)n_1,2^.

               Параметры u и w связаны друг с другом трансцендентным характеристическим уравнением, которое применительно к ООВ и с учётом того, что D=(n₁ - n₂)/n₁<<1, имеет вид

u[J₁(u)/J₀(a)]=w[K₁(w)/K₀(w)],                               (4.2.6.)

где J_0,1(u) и K_0,1(u) – функция Бесселя и модифицированная функция Ханкеля первого рода.

          Характеристическая частота может быть выражена:

          Совокупность уравнений (4.2.5) и (4.2.6) не даёт возможности получить выражение для b(w) в явном виде. Поэтому предварительно найдём ряд численных решений уравнения (4.2.6) относительно u, т.е. найдём числовую зависимость u=f(n) для интервала n=(1,05…2,4). Далее по найденным данным находим аппроксимацию данной функции.

          Выбираем функцию такого вида: u=Qn^m. Постоянные Q и m подлежат определению. Процесс аппроксимации производим по методу наименьших квадратов, при котором сумма квадратов разности между значениями величин, вычисленных по приведённым выше формулам, и аппроксимирующей функции должна быть минимальна.

          Для функции вида u=Qn^m значение постоянных могут быть получены из решения двух уравнений:

 ,

 ,

где s – количество выборок значений n. В нашем случае s=28. Результаты расчётов, проведённые на ЭВМ, дают: Q=1,08; m=1/2; таким образом,

u=1,08n^1/2                       (4.2.7)

          Ошибка вычислений по формуле (4.2.7) по сравнению со значениями, полученными по формуле (4.2.6) порядка ±(1…2)%. Следовательно,

b=1/2[(n²/2D)-1,17n²]^1/2 .                             (4.2.8)

          Оценим порядок слагаемых, входящих в это выражение. Пределы реальной области режима работы и параметров ООВ следующие: n=2…2,4; 0,001£D£0,01.

          Примем n=2, D=0,005. Тогда n²/2D=400; 1,170n=2,34. Следовательно,

n²/2D>>1,17n .                         (4.2.9)

          Поэтому в первом приближении, применительно к предварительным оценкам, можно пользоваться простым выражением

b=(1/a)[(n²/2D)-2,34]^1/2 .                              (4.2.10)

В дальнейшем, однако, будем пользоваться формулой (4.2.8).

          Полученные выражения относятся к идеализированному ступенчатому профилю n(r). Он используется при решении ряда задач, связанных с распространением сигналов по одномодовому оптоволокну. Реальный профиль несколько отличается от указанного вследствии особенности ряда процессов, происходящих при получении заготовок и вытяжки из них волокна. Основное отличие – отсутствие чёткой границы между сердцевиной и оболочкой. Точное описание реального профиля ООВ (который не является ступенчатым) – затруднительно.

          Согласно [5] в общем случае сглаженный профиль описывается выражением:

                     (4.2.11)

где R=r/a, r – текущий радиус. В частности при m=0 имеем гауссовый профиль. Анализ (4.2.11) показывает, что при m=(8..10) профиль n(r) близок к реальному «ступенчатому», т.е. сглаженному.

          Параметр u для волокна, профиль которого описывается выражением (4.2.11), будет

u=[(m+2)n(2/(m+2)) - (m+1)]^1/2 .

При указанных выше значениях m=8 и m=10 и при n=2 соответственно имеем: u=1,57 и u=1,11.

          Из изложенного следует, что в случае сглаженного профиля выражение для b(w) отличается только видом второго члена, стоящего в квадратных скобках (4.2.8). Так как средние значения этого слагаемого (1,11…1,57)<2,34 (4.2.10), применительно к сглаженному профилю среднее значение второго члена можно принять равным (1,1…1,6) или. В первом приближении, вообще его опустить, ибо среднее значение первого слагаемого приблизительно равно 400.

          Поскольку второе слагаемое определяет влияние волноводной дисперсии, сглаженный профиль снижает последнюю; это следует также из известных физических представлений.

          Учтём материальную дисперсию. Обратимся к параметру D(w)=[n₁(w) – n₂(w)]/n₁(w). Так как n₁/n₂»1, можно с достаточной точностью принять n₁(w) – n₂(w)=const=dn. Следовательно,

          В реальных ООВ величина n₁(w) изменяется в пределах n₀(1±0,02), где n₀ = n₁(w₀) – исходное значение n₁ на несущей частоте w₀. Поэтому величина при изменении w остаётся в пределах q=q₀(1±0,01), где . С учётом соотношения (4.2.9) можно с достаточной точностью принять

Отсюда следует, что при q₀=0 b(w)=[n₁(w)/c]w, т.е. нелинейность b(w), а значит искажения сигнала, в рамках принятых приближений, определяются только материальной дисперсией. Член q₀w определяет вклад волновой дисперсии.

          Полное выражение для b(w), в котором учитывается зависимость q₀ от w, имеет вид:

Обозначим n₁²(w)=y(w) и разложим в ряд, ограничиваясь третьим членом:

y(w)=y(w₀)+(w - w­₀)y’(w­₀) + [(w - w₀)²/2!]y’’(w₀).

Учитывая, что n₁(w₀)=n₀, получим

n₁²(w)=n₀² + 2n₀(w – w₀)n₁’(w₀) + (w – w₀)²n₀n₁’’(w).

          Выразим n’’(w₀); n’(w0) через dt_g. На основании (4.2.3), учитывая, что b(w) по смыслу определяется на единицу длины (l=1), находим

n’’(w)=-[dt_gc/wdw].

Тогда

,

но |w/w₀|_max=|(w₀±dw)/w₀|»1. Следовательно,  n’(w)»0. Отсюда

n²(w)»n₀² + n₀(dt_gc/w₀dw)(w – w₀)².

Так как

w_max=w₀ + dw  и (w - w₀)²/w₀»2(w - w₀),

(4.2.12)

          Поскольку 0 £ w – w₀ £ dw, второй член, стоящий в квадратных скобках, изменяется в пределах:

0 £ 2n₀(dt_gc/dw)(w – w₀) £ 2n₀dt_gc.

Обозначим 

2n₀(dt_gc/dw)(w – w₀)=f(w).

Выражение (4.2.12) описывает фазовую характеристику ООВ со ступенчатым профилем n(r), с учётом волноводной и материальной дисперсий. Материальная дисперсия входит в это выражение в явном виде, а влияние волноводной обуславливается нелинейностью выражения [независимо от нелинейности n(w)]. Таким образом, аналитическая связь двух видов дисперсии с общей дисперсией оказывается достаточно сложной.

          В случае отсутствия материальной дисперсии имеем

или, так как n₀=n₁ и (n₁ – n₂)/n₁=dn/n₁=D,

Нелинейность этого выражения, обусловливающая волноводную дисперсию, определяется наличием второго члена, стоящего в круглых скобках; при его отсутствии b(w)=(w/c)n₀, т.е. приходим к выражению для волнового коэффициента линейной среды.

          Если преобладает материальная дисперсия, то

b(w)=[n₀²+2n₀(dt_g/dw)(w – w₀)]^1/2.

Из (4.2.12), обозначив 2n₀(dt_g/dw)c=A и принимая ww₀»w₀², а также учитывая, что , находим первую производную:

.

Максимальное значение полной дисперсии (на границе полосы частот dw) на единицу длины волокна

dt₀=v_гр^-1(w₀) – v_гр^-1(w₀+dw)=b’(w) – b’(w₀+dw),

где v_гр(w) - групповая скорость. На основании (4..2.13) получаем

;

;

          Из изложенного следует, в частности, что материальная и волноводная дисперсии образуют полную дисперсию сложным образом и простое или квадратичное их суммирование не даёт значения полной дисперсии, т.е.  dt₀¹dt_g+dt_l  или dt₀²¹dt_g²+dt_l².

Полная дисперсия dt₀ может быть равна нулю, если b’’(w). Однако это реализуется только на одной частоте w’. При этом параметры волокна должны быть выбраны в разумных пределах.

          Реальным является не обеспечение dt₀=0 на одной частоте w’, а реализация dt₀= dt_0min, где dt_0min - не более некоторого допустимого предела на всём частотном интервале dw (при заданном w₀). Для этого достаточно задать в выражении (4.2.14) dt₀= dt_min и определить необходимые параметры ООВ.

          При отсутствии материальной дисперсии, т.е. при преобладании волноводной, имеем

,

откуда

.

          Волноводная дисперсия

.

          Из предыдующего следует, что ЧХ одномодового волокна длиной l

K(w;l)=e^jb(w)l=K₁(w;l)+K₂(w;l).

Учитывая, что среднее из возможных значений q₀w=2,34 и что 2,34/w<<1, примем

.

Переходная характеристика по огибающей:

,

Так как K₁(w;l)=cos[b(w)l],

,

где M=(n₀/c)l; N=A/n₀².

Импульсная характеристика волокна

или

.

          На основании полученной импульсной характеристики, вычислением свёртки производим расчёт выходного импульса.