Электрическое поле в проводящих средах. Основные теоретические положения

Тогда ток утечки через изоляцию кабеля на длине в 1 км составит

I = g₀lU = 0,0628∙10 ^-6∙1000∙10∙10 ³ = 0,628 А.

Мощность тепловых потерь в изоляции  Р = U∙I = 10000∙0,628 = 6280 Вт.

Задача 13.8. Однослойный коаксиальный кабель работает под напряжением 600 В и имеет размеры: r₁ = 4 мм,  r₂ = 8 мм,  l = 10 км, удельная проводимость изоляции   g = 1∙10 ^-9 См/м.   Определить ток утечки и его плотность в изоляции на поверхности жилы и на внутренней стороне оболочки кабеля, а также тепловые потери кабеля.

Ответы:   I = 54,4 мА,  d₁ = 216 мкА/м²,  d₂ = 108 мкА/м²,  Р = 32,6 Вт.

Задача 13.9. Рассчитать ток утечки между двумя жилами коаксиального кабеля (рис. 13.6). Изоляция выполнена двухслой-ной из несовершенного диэлектрика (удельные проводимости    g₁ = 5·10^-8 См/м    и  g₂ = 2·10 ^-8 См/м, относительные диэлектриче-ские проницаемости  e₁ = 2  и  e₂ = 5). Напря-жение U = 10 кВ. Геометрические размеры –  r₁ = 1 мм,  r₂ = 2 мм,  r₃ = 3 мм.

Найти удельные тепловые потери в окрестности точки М, проводимости и ёмкости между телами, построить схему замещения системы. Кабель считать весьма протяжённым, а расчеты выполнить на единицу длины.

Дополнительно определить предельно возможную длину кабеля как линии электропередачи.

Решение

1. Пусть ток утечки равен i. Тогда в соответствии с формулами (13.2) плотность тока, напряжённость и потенциал в слоях диэлектрика   определяются по формулам

d = i/(2prl);   Е₁ =,  Е₂ =;   j₁ =lnr+ А₁,  j₂ =lnr + А₂.

2. Напряжение, приложенное к устройству,

U = j ₁(r₁) – j ₁(r₂) + j ₂(r₂) – j ₂(r₃) =

=ln+ln=ln.

3. Отсюда ток утечки на единицу длины

i₀ === 1,841·10^-3 А/м = 1,841 мА/м.

4. Проводимость кабеля токам утечки найдём по закону Ома:

g₀ = I₀/U = 1,841·10^-3/10⁴ = 0,1841·10^-6 Cм/м = 0,1841 мкСм/м.

5. Этот же ответ можно получить, используя аналогию между электрическим полем в проводящей среде и электростатическим. Формула ёмкости однослойного коаксиального кабеля (13.3): C₀ =.

ёмкости слоёв и всего данного кабеля:

C₁₀ === 160,4 пФ/м;

C₂₀ === 873,5 пФ/м;

так как ёмкости соединены последовательно, то

C₀ === 135,5 пФ/м.

Проводимости слоёв и всего кабеля на единицу длины:

g₁₀ === 0,454·10^-6 Cм/м;

g₂₀ === 0,310·10^-6 Cм/м;

g₀ === 0,1842 мкСм/м.

6. Электрическая схема замещения устройства показана на рис. 13.7.

7. Плотность тока в окрестности точки М:

d = i₀/(2pr₂) = 1,841·10^-3/(2p ·2·10^-3) = 0,147 А/м²;

тепловые потери в окрестности точки М по закону Джоуля-Ленца:

p₁ = d ²/g₁ = 0,147²/(5·10^-8) = 0,432·10⁶ Вт/м³ = 0,432 МВт/м³;

p₂ = d ²/g₂ = 0,147²/(2·10^-8) = 1,08·10⁶ Вт/м³ = 1,08 МВт/м³.

8. Сечение   внутренней   жилы   кабеля   меньше, чем наружной, и рав-но S = pr₁² = 3,14 мм². Если принять, что жилы алюминиевые, а допустимая плотность тока 1 А/мм², то допустимый ток для кабеля будет равен 3,14 А. Тогда допустимая длина кабеля (пока он ещё хоть сколько-нибудь способен питать нагрузку, а не целиком себя) –

l_доп = 3,14/i₀ = 3,14·1000/1,841 = 1705 м.

А для получения приемлемого КПД эта длина должна быть ещё меньше.

Задача 13.10. Цилиндрический  конденсатор с двухслойной изоляцией (рис. 13.6) работает при напряжении  U = 10 кВ.  Известны размеры конденсатора (r₁ = 0,08 см,   r₂ = 0,2 см,   r₃ = 0,6 см,  l = 5 см) и свойства изоляции (g₁ = 1∙10 ^-8 См/см,  e₁ = 2,   g₂ = 4∙10 ^-8 См/см,   e₂ = 6). Рассчитать ток утечки через изоляцию конденсатора, найти выражения удельной проводимости  g₀  и ёмкости  С₀  конденсатора.

Ответы:  I = 2,634 мА,

g₀ == 5,273∙10 ^-8 См/м,    С₀ == 43,34 пФ/м.

Задача 13.11. Плоский конденсатор ёмкостью 10 мкФ находится под напряжением 1 кВ. Диэлектрическая проницаемость изоляции e = 4, а удель-ная проводимость  g = 1∙10 ^-12 См/м. Определить ток утечки между обклад-ками конденсатора.

Методические указания: из формулы ёмкости  С = q/U = e₀e S/d можно найти соотношение S/d = С/(e₀e), которое затем использовать в аналогичной формуле проводимости конденсатора:  g = g ·С/(e₀e).

Ответ:  I = 0,283 мА.

Задача 13.12. Два плоских конденсатора  С₁ = 0,2 мкФ, С₂ = 0,5 мкФ  с несовершенными диэлектриками соединены последовательно и подключа-ются к источнику напряжения  U = 1200 В. Диэлектрические проницаемости диэлектриков:  e₁ = 2,4,   e₂ = 4;  удельные проводимости:   g₁ = 0,2∙10 ^-9 См/м,  g₂ = 5∙10 ^-9 См/м.   Определить напряжения на каждом из конденсаторов в момент включения, а также в установившемся режиме.

Решение

При решении задачи воспользуемся схемой замещения системы, представленной на рис. 13.7. В момент включения весь ток проходит по незаряженным конденсаторам в соответствии со вторым законом комму-тации. То есть через конденсаторы проходит один и тот же заряд