Задания на итоговую контрольную работу (диаграмма Эйлера-Венна, бинарные отношения и матрицы инциденций этих отношений, матрицы инциденций и построение графов)

Вариант 7

1. Представить множества , , ,  на диаграмме Эйлера-Венна. Записать характеристические функции множеств ,  и  в виде двоичных векторов. Пронумеровать каждую область диаграммы Эйлера-Венна двоичным номером.

2. Доказать равенства: , где  и  – подмножества какого-либо универсального множества .

3. Бинарные отношения  и  на множестве  заданы характеристическими свойствами ,  .

Требуется:

1) записать матрицы инциденций этих отношений,

2) найти композиции  и ,

3) проиллюстрировать решение с помощью графов.

4. На множестве  задано бинарное отношение: . Определите, является ли данное отношение транзитивным. Укажите опосредованные связи между элементами множества  в отношении .

5. В спортивном празднике участвовали 120 студентов. На празднике студенты выступали в трех видах соревнований художественная гимнастика (вид Г), легкая атлетика (вид А) и боевые единоборства (вид Б).  В виде Г участвовали 70 студентов, в А – 50 студентов, в Б – 30, в Г и А – 15, в Г и Б – 15, в А и Б – 10. Сколько студентов участвовали во всех трех видах соревнований?

6. Сколькими способами можно распределить 5 подарков между 1) четырьмя, 2) тремя, 3) пятью детьми?

7. Докажите, что импликации не коммутативная операция, а конъюнкция не дистрибутивна относительно импликации.

8. Запишите функцию , используя

1) операции кольцевая сумма и конъюнкция, 2) операции импликация, конъюнкция и отрицание.

9. Дано высказывание : "Если Земля вращается вокруг Солнца, а Луна – вокруг Земли, то Солнце вращается вокруг Луны". Требуется:

1) Выделить в высказывании  атомарные высказывания,

2) Представить  в виде формулы логики высказываний с использованием импликации,

3) Составить таблицу истинности высказывания ,

4) Представить  в виде формулы логики высказываний без импликации.

10. Даны формулы алгебры высказываний: , , .

Найти среди них тавтологии и тождественно ложные формулы.

11. Граф  задан матрицей инциденций: