Решение систем нелинейных уравнений. Форматы функций.

Лабораторная работа 5

Часть I

Решение систем нелинейных уравнений

Цель работы:

-  изучить форматы некоторых встроенных функций;

-  освоить приемы решения систем нелинейных уравнений;

-  приобрести навыки решения простейших инженерных задач.

.

Задание 1. Ответить на следующие контрольные вопросы из лекции 5:

- как отыскать корни нелинейных уравнений в системе MathCAD;

- как решить систему нелинейных уравнений в MathCAD’e;

- что должен делать пользователь, если MathCAD не может найти  корни;

- как графически проверить наличие действительных корней системы двух уравнений;

- как задать точность поиска корней;

- как найти корни при аналитических преобразованиях;

- перечислите способы решения системы линейных уравнений в системе        MathCAD;

- как решить обыкновенное дифференциальное уравнение в системе MathCAD;

- выполнить пример 5.1 в системе MathCAD;

- как решить систему двух дифференциальных уравнений.

Задание 2. Решить два нелинейных уравнения с точностью до 0.0001:

a∙x³+ b∙x² + c∙x +d = 0 и f₁(x) + f₂(x) = f₃(x)

Вместо компонентов a, b, c, d, f₁(x), f₂(x) и f₃(x) записать значения из табл. 5.1.   Корни отделить графически.

Таблица 5.1

Варианты компонентов функций

     Задание 3. Решить систему двух нелинейных уравнений с точностью до 0.0001:

Вместо компонентов f1(x), f2(x), f3(x), f4(x), f5(x) и f6(x) записать значения из табл. 5.2.  Корни отделить графически.

Таблица 5.2

Варианты компонентов функций системы уравнений

Задание 4. Решить дифференциальные  уравнения первого и второго порядка с точностью до 0.0001:

с помощью функций Odesolve() и rkfixed(). Вместо компонентов f(t,y(t)), a,b,c, f(x) записать значения из табл. 5.3. Результаты, полученные разными функциями сравнить. Отсутствующие начальные условия выбрать самостоятельно.

Таблица 5.3

Варианты компонентов функций дифференциальных уравнений

Вместо компонентов μ₀, ν₀, λ₀, μ₁, ν₁, λ₁, x₀, x₁ записать значения из табл. 5.4.

Таблица 5.4

Варианты компонентов функций системы уравнений

Лабораторная работа 5

Часть II

Использование функций интерполирования, регрессии

 и предсказания

Цель работы:

-  изучить форматы функций интерполирования, регрессии, предсказания;

-  освоить приемы выполнения интерполирования, регрессии, предсказания;

-  приобрести навыки решения простейших инженерных задач.

Задание 1. Ответить на следующие контрольные вопросы из лекции 5:

- методика выполнения линейной интерполяции в системе MathCAD;

- методика выполнения интерполяции кубическим сплайном;

- сущность линейного предсказания и ее реализация;

- сущность линейной регрессии и ее реализация;

- сущность полиномиальной регрессии и ее реализация.

Задание 2. Задать табличную функцию для интерполяции следующим образом:

-  для х использовать дискретный аргумент i := 0..10  x_i := i

-  для функции y использовать датчик случайных чисел y_i := rnd(10).

Вычислить значения функции y для любых двух промежуточных аргументов x₁ и x_2,  используя встроенную  функцию линейной интерполяции. Выполнить проверку результатов вычисления с помощью программы расчета точек прямой, проходящей через две заданные точки плоскости. Выполнить интерполяцию с помощью кубического сплайна и построить совмещенные диаграммы табличной функции, линейной и кубической интерполяции.

Задание 3. Выполнить аппроксимацию табличной функции (см. задание 2) из условия минимизации ошибки. В отличие от функций интерполяции, аппроксимирующая кривая должна проводиться из условия минимума среднеквадратичного отклонения. Использовать  следующие функции:

- линейную функцию (описывается уравнением y=k×x+b. Значения k и b найти с помощью встроенных функций slope(vx,vy) и intercept(vx, vy);

-  полином n-й степени (использовать функции regress(vx, vy, n), interp(), loess(vx,vy,span)).

Построить совмещенные графики табличной функции, линейной и полиномиальной регрессии. Для оценки погрешности вычислить среднеквадратическое отклонение по формулам:

 -для линейной регреcсии;

 - для полиномиальной регреcсии;

-  с помощью набора полиномов (используются функции vn: = loess(vx, vy, m),     fc_i = interp(vn, vx, vy, vx_i)). Для оценки погрешности вычислить среднеквадратическое отклонение по формуле:

.

Задание 4. Оценить табличную функцию (см. задание 2) за пределами ее области данных (использовать функцию predict(v,m,n). Построить совмещенные графики табличной функции и функции предсказания.

Лабораторная работа 6

Программирование в MathCAD’e

Цель работы:

Научиться разрабатывать и использовать простейшие цикловые программы на алгоритмическом языке MathCAD.

Задание 1.Ответить на следующие контрольные вопросы из лекции 6:

- как вызвать панель программирования;

- изложить правила заполнения полей шаблонов программирования;

- выполнить пример 4.2 с использованием простейшей программы линейной структуры, представленной на рис. 6.3;

- какие операторы используются в программах с разветвляющейся структурой;

- выполнить примеры 6.1 и 6.2;

- какие операторы используются в программах с цикловой структурой;

- изложить методику отыскания изолированных действительных корней функции f(x)=0;

- выполнить пример 6.3 и провести анализ входных и выходных параметров программы otd(); изложить алгоритм отделения корней;

- выполнить примеры 6.4 и 6.5 и провести анализ входных и выходных параметров программ pol() и xord(); изложить алгоритмы метода половинного деления и метода хорд; сравнить быстродействие методов;

- указать назначение операторов управления и дать их краткую характеристику и правила заполнения полей их шаблонов;

- выполнить пример 6.6 и проанализировать два режима работы программы;

- изложить сущность алгоритма отыскания корней методом Ньютона