Составление формулы для определения вероятности отказов её элементов Qi. Вычисление математического ожидания MT, дисперсии DT и среднего квадратичного отклонения σ случайной величины наработки системы до отказа

МПС РФ

Петербургский Государственный Университет Путей Сообщения

Кафедра: «Высшая математика»

Курсовой проект

Вариант №9

Выполнил студент

Группы ЭТ-302

Екимов Д. А.

Санкт-Петербург

2004г

2. Задание к курсовой работе

1.  Выразить событие А, состоящее в отказе схемы, через события Аi- отказ i- го элемента (i= 1,2,…,6). Составить формулу для определения вероятности отказов её элементов Qi.

2.  Составить таблицы значений функций распределения вероятностей отказов системы Q(t) и функции распределения вероятности безотказной работы P(t) для tε[0,tг] с заданным шагом ∆t. Значение tг получено из условия:      

                                                              Q(tг)>=0,997.

       Составить таблицу значений плотности вероятности отказа системы

f(t)=dQ(t)/dt,

       используя  простейшую форму численного дифференцирования  f(t)=∆Qк/∆t=(Q(tк+1)- 

       Q(tк)) /∆t,   к=0,1,2,…,(n-1).

       Построить графики функций Q(t),P(t),f(t). Графически найти моду Mo и медиану                  

       Me  случайной величины T.

3.  Вычислить математическое ожидание MT, дисперсию DT и среднее квадратичное отклонение σ случайной величины наработки системы до отказа.

4.  Определить вероятность безотказной работы системы в течение t1>=200ч,    t2>=500ч,  t3>=1000ч по графику функции Q(t) или P(t).

      Определить γ – процентный ресурс системы для γ1=0,1; γ2=0,05; γ3=0,01.

       γ– процентный ресурс t, определяется как графическое решение уравнения                

            Q(tг )=    γ.

5.  Записать формулу для вычисления наработки системы до отказа по заданным наработкам до отказа её элементов. Произвести упорядочение заданной выборки из генеральной совокупности –наработки системы до отказа, построить вариационный ряд. Записать распределение выборки и построить гистограмму относительных частот.

Найти оценки математического ожидания  S случайной  величины.

6.  Найти доверительные интервалы для математического ожидания с доверительными вероятностями γ1=0,9; γ2=0,95; γ3=0,99; указать точность полученных оценок.

7.  Проверить гипотезу Ho о виде  распределения вероятности отказа системы с помощью критерия χ^2 (Пирсна). В качестве теоретического распределения принять распределение. Уровень значимости принять равным λ1=0,1; λ2=0,05;  λ3=0,01.

Исходные данные:

1)  Отказ системы (Событие А)

             A1,A2,…,A6- Выход из строя  соответствующего элемента схемы

             A- Выход из строя схемы

             A=A1 ∩ (A2UA3) ∩ (A4UA5UA6)

              Вероятность отказа системы

             Q=1-Q1(1-(1-Q2)(1-Q3))(1-(1-Q4)(1-Q5)(1-Q6))

              Qi- вероятность отказа i-го элемента системы.

2)  Таблица значений функций Q(t),P(t),f(t).

функция распределения вероятности отказов схемы
T	Q	f(t)	P
50	0,001068105	6,04997E-05	0,998931895
100	0,004093089	9,46747E-05	0,995906911
150	0,008826824	0,000124401	0,991173176
200	0,01504687	0,000150144	0,98495313
250	0,02255409	0,000172362	0,97744591
300	0,0311722	0,000191745	0,9688278
350	0,04075947	0,000209987	0,95924053
400	0,0512588	0,000230945	0,9487412
450	0,06280603	0,00026111	0,93719397
500	0,07586154	0,00030827	0,92413846
550	0,09127506	0,000378607	0,90872494
600	0,1102054	0,000473792	0,8897946
650	0,133895	0,000589658	0,866105
700	0,1633779	0,000716938	0,8366221
750	0,1992248	0,00084354	0,8007752
800	0,2414018	0,000957274	0,7585982
850	0,2892655	0,00104814	0,7107345
900	0,3416725	0,00110965	0,6583275
950	0,397155	0,00113918	0,602845
1000	0,454114	0,001137556	0,545886
1050	0,5109918	0,001108198	0,4890082
1100	0,5664017	0,001056148	0,4335983
1150	0,6192091	0,000987124	0,3807909
1200	0,6685653	0,00090682	0,3314347
1250	0,7139063	0,000820406	0,2860937
1300	0,7549266	0,000732222	0,2450734
1350	0,7915377	0,000645698	0,2084623
1400	0,8238226	0,000561734	0,1761774
1450	0,8519093	0,000488424	0,1480907
1500	0,8763305	0,000417146	0,1236695
1550	0,8971878	0,000354744	0,1028122
1600	0,914925	0,00029963	0,085075
1650	0,9299065	0,000251542	0,0700935
1700	0,9424836	0,000210008	0,0575164
1750	0,952984	0,00017445	0,047016
1800	0,9617065	0,000144252	0,0382935
1850	0,9689191	0,000118772	0,0310809
1900	0,9748577	9,7408E-05	0,0251423
1950	0,9797281	8,1386E-05	0,0202719
2000	0,9837974	6,299E-05	0,0162026
2050	0,9869469	5,2564E-05	0,0130531
2100	0,9895751	4,25E-05	0,0104249
2150	0,9917001	0,000034246	0,0082999
2200	0,9934124	2,7504E-05	0,0065876
2250	0,9947876	2,2016E-05	0,0052124
2300	0,9958884	1,7564E-05	0,0041116
2350	0,9967666	1,3964E-05	0,0032334
2400	0,9974648	1,1064E-05	0,0025352
2450	0,998018		0,001982

3)  Математическое ожидание и дисперсия:

  МТ=∫Р(t) dt= 1006,792629

                  MT^2= 1269540,022

                  DT=MT^2-(MT)^2= 255908,6242

                  δ= DT^(1/2)= 505,874

4)  Вероятность безотказной работы и γ-ресурс

 P(t≥200)= 0,98495313       t0,1=550

           P(t≥500)= 0,92413846        t0,05=400

           P(t≥1000)= 0,545886           t0,01=175

5)  Наработка системы до отказа

Выборка (n=50):1299  1168  1862  1326  544  1224  1023  694  272  1309  679  482  896  1269  1539     1306  1975  1124  1606  953  736  830  910  811  861  1332  1620  894  1471  1001  1227  563  1151  1079 1420  1331  863  983  900  871  1116  646  773  1153  812  763  1098  561  622  954

Вариационный ряд:  272  482  544  561  563  622  646  679  694  736  763  773  811  812  830  861  863  871  894  896  900  910  953  954  983  1001  1023  1075  1079  1098  1116 1124  1151  1153  1168  1224  1227  1269  1299  1306  1309  1326  1331  1332  1420  1471 1539  1606  1620  1862

Интервал: tε[272;1862].

Число частичных интервалов:K=6

Величина частичного интервала

h= (1862-272)/6=265

Распределение выборки:

∑ni=30        ∑ni/n=1

Выборочное среднее:   t=0,03*404,5+0,15*669,5+0,23*934,5+0,26*1199,5+0,05*1464,5+0,05*1729,5=799,065

Выборочная дисперсия: S^2=t^2-(t)^2

t^2=0,03*(404,5)^2+0,15*(669,5)^2+0,23*(934,5)^2+0,26*(1199,5)^2+0,05*(1464,5)^2+0,05*(1729,5)^2=903884,5

S^2=903884,5-(799,065)^2=265379,6

Выборочное среднее квадратичное отклонение: S=515,15

6)  Доверительные для математического ожидания: (a1;a2)

γ	t	δ =t*s/(n^0,5)	a1	a2
0,9
0,95
0,99

7)  Проверка гипотезы Ho по критерию χ^2

Номер интервала	1	2	3	4	5	6
Границы интервала	(272;537]	(537;802]	(802;1067]	(1067;1332]	(1332;1597]	(1597;1862]
Эмпирические частоты ni	2	10	15	17	3	3
Теоретические частоты n*Pi