Расчет переходных процессов (E=170 В, L=0,1 Гн, R1=350 Ом, R2=600 Ом, С=6 мкФ, ключ замыкается)

1.  Схема

В цепи, изображенной на рисунке 1, происходит коммутация в момент времени t=0 (ключ Р замыкается). ЭДС источника Е=const.

E=170 В

L=0.1 Гн

C=6 мкФ

R₁=350 Ом

R₂=600 Ом

Рисунок 1

Требуется:

1.  Найти законы изменения токов и напряжений на емкости и индуктивности. Задачу решить классическим и операторным методами.

2.  Построить временные диаграммы токов и напряжений.

3.  Составить математическую модель переходного процесса по методу переменных состояния и подготовить систему дифференциальных уравнений. Полученные уравнения решить с помощью прикладных программ на компьютере.

4.  Сравнить результаты расчета, полученные различными методами.

2.   Составление характеристического уравнения по Zвх и расчет его корней

Будем рассматривать формулу входного сопротивления относительно ветви с источником.

Сопротивления R₂ и  соединены параллельно:

Z =                                     (1)

Входное сопротивление с учетом (1) имеет вид:

Zвх(jω) = jωL+R₁+            (2)

Zвх()=L+R₁+               (3)

Затем прировняем данное уравнение (3) к нулю, преобразуем  и найдем его корни:

= 0               (4)

==1888.89 1/с         (5)

1/с              (6)

Преобразуем уравнение (4)

  (7)

Решим уравнение (7):

 1/с

 1/с

3.  Определение принужденных составляющих

Установившийся режим цепи обусловлен действием источников энергии, и поэтому принужденная составляющая u_c, в случае постоянного напряжения может быть найдена методами расчета установившегося процесса в цепи после коммутации.

         В схеме разорвем ветвь с емкостью, так как при постоянном напряжении ток в цепи с конденсатором равен нулю:

i_c(t)=

i_c(t)=0

По второму закону Кирхгофа, напряжение на конденсаторе после коммутации будет равно напряжению на резисторе R_2:

                                                                                                                      u_c=R₂i_L           (8)

Так как ток через конденсатор равен нулю, то ток через резистор R_2:

 

                                                           А             (9)

u_c=R₂i_L=В                       (10)

4.  Определение начальных условий

4.1 Независимые начальные условия

Под начальными независимыми условиями понимают значения токов катушек индуктивности и напряжений на конденсаторе до коммутации.

По второму закону коммутации: u_c(0_-)=u_c(0₊). До коммутации ключ в ветви с конденсатором был разомкнут, значит u_c(0_-)=0.

Итак,

u_c(0_-)=u_c(0₊)=0 В           (11)

По первому закону коммутации: i_L(0_-)=i_L(0₊)

До коммутации ток в катушке равен:

 А                    (12)

4.2 Зависимые начальные условия

Значения остальных токов и напряжений при t=0 в послекоммутационной схеме, определяемые по независимым начальным значениям из законов Кирхгофа, называются зависимыми начальными условиями. Составим систему уравнений для определения зависимых начальных условий:

       (13)

i_C(0₊)=C

Подставим в систему независимые начальные условия:

(14)

Преобразовав, получим:

      (15)

i_C(0₊)=C

Из системы уравнений:

i₂=0 А                                                                                               (16)

А                                    (17)

           (18)

                                             (19)

                                                                                          (20)

                                                      (21)

5.  Составление дифференциального уравнения по законам Кирхгофа.

     Вначале выберем условно-положительное направление токов в ветвях и направления обхода контуров. Затем запишем систему уравнений для момента времени после коммутации. Количество уравнений в системе должно быть равно числу неизвестных токов. Первое уравнение составим по первому закону Кирхгофа, второе и третье – по второму:

(22)

(23)

(24)

Уравнение связи для конденсатора:

i_C(t)=C            (25)

Полученная система уравнений сводится к одному дифференциальному уравнению второго порядка относительно напряжения u_C.

Для того чтобы выразить из системы u_C, нужно исключить токи i_L, i_C, i₂.

Из уравнения (24):                                             (26)

Уравнения (25) и (26) подставим в (22):

                           (27)

Уравнения (26) и (27) подставим в (23) и, преобразовав, получим:

                     (28)

6.  Анализ полученного дифференциального уравнения.

1.  Проверка размерностей коэффициентов А и В.

А=1/с

В=1/с²

            [Гн]=

[Ф]=с/Ом

2. Проверка правой части.

При постоянном воздействии в установившемся режиме:

тогда u_{C уст}

7.  Решение дифференциального уравнения классическим методом.