Расчет переходных процессов (E=170 В, L=0,1 Гн, R1=350 Ом, R2=600 Ом, С=6 мкФ, ключ замыкается), страница 2

        —  линейное неоднородное дифференциальное  уравнение второго порядка. Известно, что решением таких уравнений является сумма двух составляющих, а именно, общего решения для соответствующего однородного уравнения и частного, полученного в форме правой части для неоднородного уравнения. Физический смысл первой составляющей – описание поведения системы при отсутствии внешнего воздействия. Эту составляющую принято называть свободной. Физический смысл второй составляющей – описание поведения системы при наличии внешнего воздействия, описываемого правой частью неоднородного уравнения. Эту составляющую принято называть принужденной. По существу, это описание нового установившегося процесса, в который должна будет перейти система после коммутации.

Таким образом, решение уравнения (28) запишется как .

Принужденная составляющая напряжения uC определяется в установившемся режиме после коммутации и равна .

       Свободная составляющая uC св определяется решением однородного дифференциального уравнения:

,         (29)

позволяющем найти свободную составляющую напряжения , где А1 и А2 – постоянные интегрирования – определяются из начальных условий, а определяются как корни характеристического уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению.

Определение постоянных интегрирования А1 и А2

Первое начальное условие:uc(0-)=uc(0+)=0 В

В момент времени t=0:                 (30)

С учетом (30) получим выражение для uC:

           (31)

  


    (32)

Запишем выражение (32) для момента времени t=0:

    (33)

С учетом (21) получим:

  (34)

Преобразовав (34), получим:

                                         (35)

                        (36)

Подставим (35) и (36) в решение и получим:

           (37)

Проверка:

Подставим в решение численные значения корней и постоянные интегрирования определенные выше:


8.  Определение остальных токов и напряжений

Второй ток найдем из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа:

Из уравнения связи найдем ток через конденсатор:

A

Первый ток найдем из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа:

Напряжение на катушке индуктивности:

Падение напряжения на R1:

Падение напряжения на R2:


9.  Таблица проверок

Величина

Уравнение

t<0

t=0

По закону Кирхгофа

По уравнению

По закону Кирхгофа

По уравнению

iL

0.1789

0.1789

0.1789

0.1789

0.1789

i2

0.1789

0

0.0001

0.1789

0.1789

iC

0

0.1789

0.179

0

0

uC(t)

0

0

0

107.36

107.34

uL(t)

0

107.369

107.445

0.045

0.045

uR1(t)

62.615

62.615

62.615

62.615

62.615

uR2(t)

107.34

0

-0.06

107.34

107.34


10.  Расчет переходных процессов методом переменных состояния

В основу метода переменных состояния положена принципиальная возможность замены дифференциального уравнения n-го порядка электрической цепи системой из n дифференциальных уравнений первого порядка. При этом в качестве переменных состояния принимают токи в индуктивности iL и напряжение  uC на емкостях, которые однозначно определяют запас энергии в любой момент времени. Переходный процесс в рассматриваемой цепи описывается системой дифференциальных уравнений в форме Коши и системой начальных условий.

Запишем систему, составленную по законам Кирхгофа:

iC(t)=C

Преобразуем полученную систему в систему уравнений в форме Коши относительно производных состояния:

Полученная система является системой уравнений в форме Коши. Из этой системы запишем матрицу коэффициентов стоящих перед iL и uC:

  - эта матрица содержит все пассивные элементы цепи

Затем запишем матрицу коэффициентов стоящих перед входными воздействиями, то есть при Е:

Так же объедим в систему  полученные раннее ННУ:

 - матрица-столбец начальных условий

Запишем матрицу-столбец входных воздействий:

В итоге получим:

, где Х(t) – матрица искомых величин.

Решение этой системы относительно Х имеет вид:

Первое слагаемое в этой формуле описывает свободные процессы в системе, а второе – принужденные при нулевом исходном состоянии.

        Матричную функцию е[A]t вычисляют по формуле:

,  где

Преобразовав, получим характеристическое уравнение:

=0

оно имеет корни


11.  Операторный метод расчета.

При использовании операторного метода действительные функции времени, называемые оригиналами, заменяют их операторными изображениями. Соответствие между оригиналом и изображением устанавливается с помощью некоторого функционального преобразования. Это преобразование выбирается так, чтобы операции дифференцирования и интегрирования оригиналов заменялись алгебраическими операциями над их изображениями. В таком случае дифференциальные уравнения для оригиналов переходят в алгебраические уравнения для их изображений.