Расчет переходных процессов (E=170 В, L=0,1 Гн, R1=350 Ом, R2=600 Ом, С=6 мкФ, ключ замыкается), страница 3

Связь между оригиналом f(t) и его изображением устанавливается с помощью интеграла Лапласа:

где - комплексное число. Таким образом, операторное изображение действительной функции времени является функцией комплексного числа p.

Порядок решения задачи  операторным методом сводится к следующему:

1. Определение начальных условий после коммутации:

А

u_C(0)=0

2. Составление операторной схемы замещения:

При ненулевых начальных условиях в схему для изображений последовательно с индуктивностью включается дополнительный источник ЭДС, совпадающий с положительным направлением тока, а последовательно с емкостью – дополнительный источник ЭДС, противоположно направленный с положительным направлением тока в ветви.

3.  Для полученной операторной схемы замещения составляем систему уравнений по первому и второму законам Кирхгофа в операторной форме:

4. Нахождение операторного изображения искомой величины U_C(p) из полученной системы:

Затем выразим I_L(p):

Затем найдем I_C(p):

Найдем изображение U_C(p):

5.  Нахождение оригинала искомой функции:

Приравняем к нулю знаменатель и найдем его корни:

=0

p₁=0    

p₂=-2852.74 1/c

p₃=-925.04 1/c

Теорема разложения имеет вид:

В данном выражении с правой части от знака соответствия стоит функция времени – оригинал, состоящая из принужденной, и стоящей под знаком суммы – свободной составляющей напряжения.

H^’(p) – это производная знаменателя

G(p) – это числитель дроби

G(p)=

Затем вычислим дроби:

Подставив в , получим

Найденный оригинал напряжения совпадает с решением полученным классическим методом.
Графическая часть работы.

Графики тока и напряжения, рассчитанные методом переменных состояния с помощью программы MathCAD.

Решение с применением метода Рунге-Кутта.

- квадратная матрица собственных коэффициентов системы, которые определяются структурой цепи и параметрами элементов;

- вектор независимых переменных, элементы которого определяются входными воздействиями;

- вектор начальных условий;

- D описывает правую часть уравнений, разрешенных относительно первых производных;

- начальный момент переходного процесса

- конечный момент переходного процесса

- число шагов для численных расчетов

Применение метода Рунге-Кутта. Решение Z представляет собой матрицу размера N. Первый столбец Z⁰ содержит моменты времени, столбец Z¹ – значения тока i_L, Z² -значения функции u_C, соответствующие этим моментам.

I_L [A]

t [c]

t [c]

Графики токов и напряжений, рассчитанных классическим методом:

Переходный процесс теоретически длится бесконечно долго. На практике можно считать, что время переходного процесса равно (3-4). Постоянная времени равна промежутку времени, в течение которого свободная составляющая тока убывает в e раз.

Построим графики напряжений, по которым мы можем определить выполнение второго закона Кирхгофа:

В момент времени t=0.005 сек:

105.954 B

= 64.527B

= -0.462B

 170.019B

Следовательно, второй закон Кирхгофа выполняется.

До коммутации падение напряжения на катушке индуктивности равнялось нулю. В момент коммутации оно скачкообразно изменилось до величины 107.44 В и к концу переходного процесса оно опять стремится к нулю.

До коммутации конденсатор был разряжен, так как ветвь была разомкнута. В момент коммутации напряжение на конденсаторе не изменяется, так как это противоречило бы второму закону коммутации. К концу переходного процесса напряжение на конденсаторе стремится к величине равной напряжению на R₂, 62.615 В.

Построим графики токов, по которым мы можем определить выполнение первого закона Кирхгофа:

 А

В момент времени t=0.005 сек

i₂(t)= 0.177 A

i_C(t)= 0.0078 A

i_L(t)= 0.184 A

Следовательно, первый закон Кирхгофа выполняется.