Расчет переходных процессов (E=100 В, L=0,09 мГн, R2=300 Ом, R5=600 Ом, C=5 мкФ, ключ размыкается)

Задание варианта № 7

Схема 1

E=100 B, R₂=R₄=300 Ом, R₅=600 Ом, C=5 мкФ, L=0,09 мГн

При t=0   ключ размыкается

1.Составление характеристического уравнения по Z_вх

Схема 2

                                                         (1.1.)

                                                                                                                                                       (1.2.)

,

    (1.3.)

                                                  (1.4.)

                     (1.5.)

Подставим числовые значения:

Корни характеристического уравнения:

                                                                                            (1.6.)

2.Определение принуждённых составляющих

Рассмотрим схему 2 после завершения переходного процесса(). В цепи будет постоянный ток. Катушка постоянному току сопротивления не оказывает, а сопротивление конденсатора постоянному току() бесконечно большое. Поэтому:

                                                                                                           (2.1.)

                            (2.2.)              

                                        (2.3.)                                                                                                                                        

                                                                                (2.4.)

                                                                                (2.5.)

                                                                     (2.6.)

                                                                                             (2.7.)

3.Определение начальных условий

а.) Определение независимых начальных условий

Для определения  независимых начальных условий воспользуемся законами коммутации:

,

Рассмотрим схему 1 до коммутации. Так как i₁ =i_L получаем:

(3.1.)

                                                  (3.2.)

б) Определение зависимых начальных условий

Схема 3

Зависимые начальные условия определим из системы, составленной по законам Кирхгофа:

                                                                       (3.3.)                                           
                                                                                 

При t=0 имеем:

                                                               (3.4.)

Из второго уравнения системы (3.4):

                                                       (3.5.)                                                                                           

Из первого уравнения системы (3.4):

                                                                    (3.6.)

Из третьего уравнения системы (3.4):

                       (3.7.) 

                                                                                      (3.8.)

                                                                                    (3.9.)

                                                                                    (3.10.)
4. Составление дифференциального уравнения по законам Кирхгофа

Воспользуемся составленной ранее системой (3.3). Из третьего уравнения системы (3.3):

                                                                                         (4.1.) 

Дифференциируем второе уравнение системы (3.3) по t:

                                                                                                        (4.2.)

                                                                                                            (4.3.)

Дифференциируем (4.1) по t:

                                                                                    (4.4.)

Подставляем (4.4) в (4.3):

                                                                                                     (4.5.)

Подставляем (4.1) и (4.5) в первое уравнение системы (3.3):

                                                     (4.6.)

                             (4.7.)

Отметим, что в уравнении (4.7) все знаки перед искомым током и его производными одинаковы. Сравним коэффициенты перед искомым током и его производными с характеристическим уравнением (уравнение (1.4)). Коэффициенты совпадают.

5. Составление дифференциального уравнения методом Д-алгебраизации

Применим метод Д-алгебраизации для системы (3.3), составленной по законам Кирхгофа. При этом  

                                                                            (5.1.)

Решаем полученную систему алгебраических уравнений. Для этого выражаем из первого уравнения системы (5.1) ток i₂:

                                                                                                                            (5.2.)  

Затем подставляем (5.2)  во второе уравнение системы (5.1):

                                                                                       (5.3.) 

Приведём уравнение (5.3) к виду, необходимому для решения методом Крамера:

                                                                                 (5.4.)  

Решаем систему  (5.4) методом Крамера: