Исследование средней работы вынуждающей силы действующей на гармонический осциллятор

Страницы работы

Содержание работы

              Санкт-Петербургский Государственный Морской Технический Университет

Кафедра физики

Курсовая работа

по теоретической физике

на тему:

«Исследование средней работы вынуждающей силы  действующей на гармонический осциллятор»

выполнил студент группы 7240

Курячий Вадим проверил преподаватель

Монозон Б.С

г.Санкт-Петербург

2008г.


Содержание

1.Теоретическая часть

2.Практическая часть

2.1 Формулировка задачи

2.2Решение задачи

2.2.1Первая часть

2.2.2Вторая часть

2.2.3Третья часть

Список используемой литературы

Графическое приложение

1.Теоретическая часть

Вынужденные колебания -это  колебания происходящие под действием вынуждающей силы.

В общем случаи их уравнение будет иметь вид

                                                               (1)

Где -жесткость,  составляющая силы сопротивления,-вынуждающая сила.

Средняя работа этой вынуждающей силы определяется формулой

                                                              (2)

Где-время за которое совершался колебательный процесс  

Для одного полного колебания это время будет равно периоду гармонического колебания

,т.е

                                                                      (3)

Уравнение (1) поделив на массу можно записать в виде

                                                  (4)

Собственная частота гармонических колебаний  будет определятся формулой

                                                       (5)

А коэффициент затухания колебаний

                                                         (6)

Тогда уравнение (4) можно записать в виде

                                                (7)

Решение этого уравнения , а вернее его производная по времени при подстановке в формулу (2) и позволит нам вычислить среднюю работу.


2.Практическая часть

2.1 Формулировка задачи

На осциллятор с трением( собственная частота ,сила трения ) действует вынуждающая сила

а) Найти среднюю работу   этой силы при установившихся колебаниях, если

б) То же для

в) Найти среднюю работу  за большой промежуток времени  силы  при установившихся колебаниях.

г) Найти полную работу силы ,если осциллятор  при  покоился.


2.2 Решение задачи

2.2.1Первая часть

Известно что среднюю работу можно вычислить по  следующей формуле

                                                               (1)

Займемся решением  первой части задачи, где вынуждающая сила равна                                                  (2)

Промежуток времени  будет равен периоду установившихся колебаний, а именно

                                                                                  (3)

Как видно нам не хватает только одного элемента , который мы будем искать из уравнения вынужденных гармонических колебаний полученного из уравнения движения

                                                        (4)

где -сила сопротивления,-сила трения,вынуждающая сила(2)

Разделив  обе части уравнения (4) на , получим уравнение вынужденных колебаний

                                       (5)

Итак, мы имеем  дифференциальное уравнение , решение которогобудет состоять из двух решений

                                                                 (6)

где  -общее решение однородного дифференциального уравнения, частное решение неоднородного уравнения

Общее решение будет иметь вид

                                                                               (7)

Подставляя его в однородное уравнение , получим

                                                                   (8)

Решая квадратное уравнение получим

                                                             (9)

Так как ,то

                                                                         (10)

где

Тогда  общее решение будет

                                                    (11)

Преобразовывая получим

                                                       (12)

Где - амплитуда затухающих  колебаний.

Очевидно, что со временем убывает

Теперь же перенесем свое внимание на  частное решение уравнения

Рассмотрим уравнение

                                       (13)

Очевидно что частным решением уравнения(5) будет действительная часть частного решения уравнения(13)

                                                                      (14)

Частное решение уравнения (13) будет иметь вид

                                                               (15)

Подставив (15) в (13) и сгруппировав, получим

              (16)

Отсюда

                                                      (17)

домножив на комплексно сопряженные выражения получим

(18)

Учитывая формулу Эйлера запишем (15)

                                        (19)

Подставим (18) в (19)

          (20)

Раскрыв скобки и получим как комплексные , так и действительные члены.

Нас будут интересовать только действительные значения при

                         (21)

Так как мы показали выше что убывает со временем, то

                                                                (22)

Вычислим производную от (22)

                        (23)

Перейдем к вычислению средней работы. Вычислим сначала подынтегральное выражение

           (24)

Подынтегральное выражение состоит из 8 членов, имеющих следующие зависящие от элементы:,,,,,и

Поскольку

Похожие материалы

Информация о работе