Исследование средней работы вынуждающей силы действующей на гармонический осциллятор

2.2 Решение задачи

2.2.1Первая часть

Известно что среднюю работу можно вычислить по  следующей формуле

                                                               (1)

Займемся решением  первой части задачи, где вынуждающая сила равна                                                  (2)

Промежуток времени  будет равен периоду установившихся колебаний, а именно

                                                                                  (3)

Как видно нам не хватает только одного элемента , который мы будем искать из уравнения вынужденных гармонических колебаний полученного из уравнения движения

                                                        (4)

где -сила сопротивления,-сила трения,вынуждающая сила(2)

Разделив  обе части уравнения (4) на , получим уравнение вынужденных колебаний

                                       (5)

Итак, мы имеем  дифференциальное уравнение , решение которогобудет состоять из двух решений

                                                                 (6)

где  -общее решение однородного дифференциального уравнения, частное решение неоднородного уравнения

Общее решение будет иметь вид

                                                                               (7)

Подставляя его в однородное уравнение , получим

                                                                   (8)

Решая квадратное уравнение получим

                                                             (9)

Так как ,то

                                                                         (10)

где

Тогда  общее решение будет

                                                    (11)

Преобразовывая получим

                                                       (12)

Где - амплитуда затухающих  колебаний.

Очевидно, что со временем убывает

Теперь же перенесем свое внимание на  частное решение уравнения

Рассмотрим уравнение

                                       (13)

Очевидно что частным решением уравнения(5) будет действительная часть частного решения уравнения(13)

                                                                      (14)

Частное решение уравнения (13) будет иметь вид

                                                               (15)

Подставив (15) в (13) и сгруппировав, получим

              (16)

Отсюда

                                                      (17)

домножив на комплексно сопряженные выражения получим

(18)

Учитывая формулу Эйлера запишем (15)

                                        (19)

Подставим (18) в (19)

          (20)

Раскрыв скобки и получим как комплексные , так и действительные члены.

Нас будут интересовать только действительные значения при

                         (21)

Так как мы показали выше что убывает со временем, то

                                                                (22)

Вычислим производную от (22)

                        (23)

Перейдем к вычислению средней работы. Вычислим сначала подынтегральное выражение

           (24)

Подынтегральное выражение состоит из 8 членов, имеющих следующие зависящие от элементы:,,,,,и

Поскольку