Исследование средней работы вынуждающей силы действующей на гармонический осциллятор, страница 2

Т.о. формулу 1 можно записать как

(25)

И нам остается только посчитать интегралы

Подставив их в формулу(25) и вынеся общий множитель получим окончательный результат

 

                    (26)

2.2.2 Вторая часть

Теперь же приступим к решению второй части данной задачи ,условия которой отличаюся от первой только видом вынуждающей силы

                                                    (27)

Уравнение вынужденных колебаний на основ5е формул (5) и (27) будет иметь вид

                                                           (28)

Рассмотрим его при

                                                 (29)

Как было показано выше  обший член решение  этого уравнения со временем исчезнет , т.е

                                                                           (30)

Частное решение уравнения (29) будет иметь вид

                                                                    (31)

Подставив его в (29)получим

                      (32)

Отсюда

                                             (33)

Учитывая формулу Эйлера (19)запишем (31)

(34)

                  (35)

При

                 (36)

Тогда полная сумма будет равна

       (37)

Вычислим производную от (37)

                  (38)

Рассмотрим вынуждающую силу для  и при условии

                               (39)

Тогда полная сумма будет выглядеть как

                                                     (40)

Перейдем к вычислению средней работы. Вычислим сначала подынтегральное выражение

(41)

Из формулы один средняя работа будет равна

   (42)

Выше было показано что так как ( формула 3) перекрестные произведения произведения и произведения функций с различными аргументами при интегрировании обнуляются, таким образом формула средней работы примет вид

                                          (43)

Нетрудно показать что

Интегрируя получим

                                           (44)

2.2.3 Третья часть

Перейдем к решению третьей задачи и попытаемся найти среднюю работу за длительный промежуток времени. Для этого будем пользоваться схожими с решением первой части задачи методами. Так же как и в первой задаче(1) работа будет равна

Однако время , по условию, длительное а следовательно его можно записать в виде

Вынуждающая сила будет равна

                                                 (45)

Элемент мы будем искать из уравнения движения(4), которое мы представим в виде

                           (46)

Как было показано при решении первой части задачи корнем общее решение этого уравнения со временем исчезает и справедлива формула (22)

Для того чтобы найти частное решение рассмотрим уравнение

Действительная часть решения которого и будет

Частное решение уравнения будет иметь вид

Подставив его в уравнение и сгруппировав получим

    (47)

Отсюда

                                                      (48)

Домножив на комплексно сопряженные выражения получим

                  (49)

Подставив

     (50)

Раскрыв скобки и получим как комплексные , так и действительные члены. Но согласно

(14)

нас будут интересовать только действительные значения

                        (51)

Вычислим производную от

                      (52)

Перейдем к вычислению средней работы. Вычислим сначала подынтегральное выражение

(53)

Подынтегральное выражение состоит из 8 членов, имеющих следующие зависящие от элементы:,,,,,и

Можно показать, что при вычислении работы члены содержащие перекрестные произведения синуса и косинуса или же функций одного вида но с различными аргументами обнуляются

 

А теперь вычислим работу с двумя оставшимися членами

И с учетом полученных выше результатов и формулы (1) получим формулу средней работы за большой промежуток времени

                  (54)