V(X)= ( an-2 Xn-1+… +a0X + an-1)
Циклический сдвиг комбинации на один символ влево соответствует умножению представляющего его многочлена на X.
Умножим f(X)g(X) на X, получим
Xf(X)g(X)= an-1Xn+ an-2Xn-1+ …+a1X2+ a0X
Прибавим к левой и правой части этого равенства двучлен an-1Xn+ an-1, получим:
Xf(X)g(X)+ an-1 (Xn+1) = an-2Xn-1+ …+a1X2+ a0X+ an-1
Xf(X)g(X)+ an-1 (Xn+1) = V(X)
Комбинация ( an-2 … a0 an-1) будет являться комбинацией циклического кода только в том случае, если V(X) делится на g(X) без остатка, чтобы многочлен V(X), представляющий собой сумму двух многочленов, из которых один делится на g(X) необходимо, чтобы и второй многочлен делился на g(X) без остатка. Отсюда следует, что комбинации линейного кода обладают свойством цикличности только тогда, когда g(X) является делителем двучлена Xn+1. При выполнении указанного требования g(X) может быть только многочленом вида:
g(X) = Xr +…+ 1
Заметим, что комбинация, состоящая из одних «0» является еще одной комбинацией циклического кода, т.к. она обладает свойством цикличности и соответствующий ей нулевой многочлен делится на g(X) без остатка.
Двоичный линейный систематический (n, k)- код называется циклическим, если все 2k его комбинаций представляются многочленами степени n-1 и менее, делящимися на многочлен g(X) степени r = n – k, являющийся делителем двучлена Xn + 1.
Многочлен g(X) называется порождающим или образующим многочленом циклического кода. Каждый двучлен Xn + 1 раскладывается на несколько неприводимых многочленов.
Многочлен степени m называется неприводимым, если он не делится ни на какой другой многочлен степени меньшей m и большей 0. Каждый из этих неприводимых многочленов, а также любое их произведение кроме полного является делителями Xn + 1 и, следовательно, порождающими многочленами определенных циклических кодов.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.