Пусть имеем линейный (n, k)-код, являющийся циклическим. Рассмотрим все его ненулевые комбинации и соответствующие многочлены. Найдем комбинацию, многочлен которой имеет наименьшую степень. Ею может быть только последняя строка матрицы G, т.к. комбинация линейного кода отлична от нуля только тогда, когда отличен от «0» хотя бы один информационный символ.
Среди всех комбинаций с одним отличным от «0» информационным символом многочленом наименьшей степени будет представляться последняя строка матрицы G как имеющая «1» в младшем информационном символе.
Обозначим многочлен, представляющий последнюю строку матрицы G через g(X). Нетрудно видеть, что это многочлен степени r. Выполним последовательно k-1 циклических сдвигов комбинации, представляемой многочленом g(X). Учитывая цикличность комбинации циклического кода, получим помимо исходной еще k-1 комбинацию циклического кода. Всем этим комбинациям соответствуют многочлены g(X), Xg(X)…Xk-1g(X).
Поскольку степени всех указанных многочленов различны, то полученные комбинации линейно независимы. Представляющие их многочлены вместе с многочленами, получаемыми при сложении их по 2, по 3 и т.д. до всех k, образуют множество из 2k-1 многочленов. Первой особенностью этого множества является о, что среди них нет такого, степень которого бы превышала n-1 (k-1+r = n-1), а второй – то, что каждый из них делится без остатка на g(X).
Поскольку сложению многочленов соответствует сложение по mod 2 их комбинаций, а комбинации, представляемые многочленами g(X), Xg(X)…Xk-1g(X), являющиеся комбинациями циклического кода, то можно заключить, что соответствующие 2k-1 многочлены рассматриваемого множества принадлежат циклическому коду, ибо сумма по модулю два любых двух комбинаций линейного кода дает комбинацию этого же кода, а наш код является циклическим.
Выясним, какому условию должен удовлетворять многочлен g(x). Выберем произвольную комбинацию (an-1, …, a1, a0) из 2k-1 комбинаций циклического кода и учитывая вторую из выше указанных особенностей, обозначим соответствующий ей многочлен через f(X)g(X)= an-1Xn-1+ …+a1X+ a0. Выполним циклический сдвиг выбранной комбинации. В результате получим комбинацию ( an-2 … a0 an-1) обозначим ее через V. Ей соответствует многочлен
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.