Кинематика точки. Способы задания движения точки

Способ задания движения, заключающийся в задании координат точки как известных функций времени, называется координатным способом задания движения и требует выбора конкретной системы координат (прямоугольной декартовой, цилиндрической, сферической). При движении точки в плоскости иногда используют полярные координаты.

Для прямоугольной декартовой системы координат задают координаты x, y, z точки M как известные функции времени.

             кинематические уравнения движения в координатной форме

Траектория задана в параметрической форме.

3. Естественный (траекторный) способ. Задаются траектория точки и закон ее движения по этой траектории. Пусть M₀ – какая-либо фиксированная точка на траектории. Выбрав направление положительного отчета дуги по траектории, мы определим положение точки M в любой момент времени, если будем знать, как изменяется дуга со временем.

 - закон движения, G – траекторная координата.

Если движение происходит в сторону возрастания G , то дифференциал дуги . Если движение в сторону убывания дуги, то .

Путь S , проходимый точкой, всегда будет возрастать и, следовательно, положителен, то есть,

Все рассмотренные способы задания движения взаимосвязаны.

Пусть движение задано в координатной форме:

Перейдем к векторному способу. Введем , тогда:

Модуль :

Направление :

Скорость точки.

1. При векторном способе. Рассмотрим два близких положения на траектории.

Вектор  - назовем вектором перемещения точки за время ∆t . Отношение называется средней скоростью точки за промежуток времени .

Скоростью точки в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения точки к промежутку времени, за который произошло это перемещение, когда этот промежуток времени стремится к нулю, то есть,

При перемещении секущая  занимает положение касательной, то есть, скорость направлена по касательной к траектории в точке дифференцирования в сторону движения точки.

2. При координатном способе. Пусть движение задано в декартовой системе координат, то есть,

Так как единичные векторы (орты)  выбранной системы координат – const, то

Вектор  можно разложить на составляющие по осям координат

Тогда:

Проекция скорости точки на координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей этой оси координаты.

Модуль скорости:

Направляющие косинусы:

3. При естественном способе. Пусть точка M движется по кривой

Так как предел отношения дуги к стягивающей ее хорде равен по модулю 1, а предельное положение секущей MM₁ совпадает с направлением касательной к кривой в точке M, то

- единичный вектор касательной к кривой, направленный в сторону положительного отсчета дуги.

Так как

Обозначим: . Тогда:

Так как проходимый точкой путь всегда положителен, то элемент пути , следовательно:

Ускорение точки.

1. При векторном способе. При криволинейном неравномерном движении скорость точки меняется по величине и направлению. Отношение приращения вектора скорости  к промежутку времени  называется ускорением точки за промежуток времени .

Ускорением точки в данный момент времени называется предел отношения приращения скорости  к приращению времени  при условии, что последнее стремится к нулю, то есть,

Ускорение точки в данный момент времени равно первой производной по времени от вектора скорости точки или второй производной по времени от радиуса – вектора точки.

2. При координатном способе. Пусть движение точки задано в прямоугольной системе координат:

Так как ,  то

, но

.

Тогда:

Модуль ускорения:

Направляющие косинусы вектора ускорения:

3. При естественном способе.

Пусть единичный вектор касательной, проведенный в какой-либо точке M пространственной кривой,  в точке M₁, близкой к M.

Перенесем  в точку M и проведем через  плоскость. При стремлении ₁ к эта плоскость в пределе займет определенное положение. Ее называют соприкасающейся.

Плоскость, проведенную через перпендикулярно , называют нормальной.

Линия пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей – главная нормаль.

Единичный вектор – в сторону вогнутости кривой.

Плоскость, проведенная через  перпендикулярно главной нормали