Восстановление непрерывного сигнала по его дискретным отсчетам

СПбГУАП

                                           Кафедра №

Рейтинг за работу                                                                    ______________

Преподаватель                                                                             Лопарев А.В.

Отчет

о лабораторной работе по курсу

«Цифровые системы управления и обработки информации»

«Восстановление непрерывного сигнала по его

дискретным отсчетам»

Работу выполнил

Студент группы 1421                                                                         Жирков Д.А.

Санкт-Петербург

2008

 1.Цель работы.

    Восстановление непрерывной функции по ее дискретным отсчетам для трех значений верхней частоты ее спектра:

а) ωв < 0.5*ωд , где ωв - верхняя частота спектра непрерывной функции,

                               ωд  - частота дискретизации спектра.

б) ωв = 0.5*ωд;

в) ωв > 0.5*ωд.

       Сделать выводы о возможности восстановления непрерывного сигнала во всех случаях.

       Рассмотреть случай увеличения числа периодов сигнала  в 50 раз.

           2. Порядок выполнения работы.

     В программной среде MatLab создаем программу для построения функции по ее дискретным значениям, а также и для построения  спектра исходного сигнала и спектра восстановленного  сигнала.

 а) Рассмотрим случай  ωв < 0.5*ωд ,  а именно:

0.5*ωд=6.28  1/с

ωв=3  1/с

     В данном случае, по теореме Котельникова, непрерывная функция должна быть точно восстановлена. Это подтверждается графиком на рисунке 1 «Восстановленная и исходная функции при  ωв < 0.5*ωд».

                 Рис.1. Восстановленная и исходная функции при  ωв < 0.5*ωд.

      На рисунке 2 представлены графики спектров исходной и восстановленной функции.

             Рис.2. Спектр исходной и восстановленной функции при ωв < 0.5*ωд.

б) Рассмотрим случай  ωв = 0.5*ωд, а именно:

ωв=6.28  1/с

         В данном случае копии спектра исходного сигнала  накладываются друг на друга, что должно привести к появлению ложных частот. Восстановленная и исходная функции приведены на рисунке 3.

                        Рис.3. Восстановленная и исходная функция при ωв = 0.5*ωд.

       Спектры исходного и восстановленного сигнала представлены на рисунке 4.

            Рис.4. Спектры исходного и восстановленного сигнала при  ωв = 0.5*ωд.

 в) Рассмотрим случай  ωв > 0.5*ωд.,  а именно:

ωв=12  1/с

      В данном случае верхняя частота спектра почти равна частоте дискретизации, что вызовет наложение копий спектра исходного сигнала. Поэтому восстановление исходного непрерывного сигнала по дискретному отсчету с помощью пропускания дискретного сигнала  через фильтр с прямоугольной АЧХ приведет к появлению ложных частот.

      На рисунке 5 представлен график восстановленной и исходной функции.

                      Рис.5. Восстановленная и исходная функции при  ωв > 0.5*ωд

         Рис.6. Спектры исходного и восстановленного сигнала при ωв > 0.5*ωд.

      Теперь рассмотрим случай, когда число периодов сигнала увеличено в 50 раз до 250. График спектра исходной и восстановленной функции на рис. 7 представлен для случая ωв = 0.5*ωд.

3.Вывод.

      В случае, когда  ωв < 0.5*ωд  ,  то по теореме Котельникова, непрерывная функция должна быть точно восстановлена. Это подтверждается графиком на рисунке 1.

      В случае, когда  ωв = 0.5*ωд , копии спектра исходного сигнала  накладываются друг на друга, что приводит к появлению ложных частот. См. рисунок 3.

      В случае, когда  ωв > 0.5*ωд , копии спектра все больше накладываются друг на друга, что вызывает все большее наложение частот до тех пор, пока эта ложная частота не получит максимум в точке ωв = K*ωд, где К-целое число. Поэтому восстановление исходного непрерывного сигнала по дискретному отсчету с помощью пропускания дискретного сигнала  через фильтр с прямоугольной АЧХ приведет к появлению ложных частот.