Математика \ Прикладная математика

Анализ марковских СМО. Компьютерное моделирование и расчет показателей СеМО, страница 2

% Проверка условиа существованиа стационарного режима

if rho_m>=1,

disp('стационарного режима не существует');

else

disp('стационарный режим существует');

K=input('сколько веротностей вычислить');

while K<=m

disp('K должно быть не меньше m+1');

K=input('сколько веротностей вычислить');

end;

% Вычисление вероатностей P0,P1,...,P(k-1)

x=1:m;

x1=ones(1,K-1-m)*m;

xx=[x,x1];% вектор длины К-1, равный (1,2,...,m,...,m)

slave1=ones(1,K-1)*rho;

slave2=slave1./xx;% вектор длины К-1, равный (p,p/2,...,p/m,...,p/m)

slave=cumprod(slave2);% вектор (p,p/(2!),...,p/(m!),...,p/(m!m )

disp('вероатность простоа');

P0=1/(1+sum(slave(1:m-1))+slave(m)/(1-rho_m));

disp(P0);

disp('вероатности состоаний 1,...K-1');

Psost=slave*P0;

disp(Psost);

disp('вероатность ожиданиа перед обслуживанием');

Pw=Psost(m)/(1-rho_m);

disp(Pw);

disp('вероатность обслуживаниа без ожидани');

Pww=1-Pw;

disp(Pww);

disp('Среднее число заавок в системе');

k=1:m-1;

Qsr=k*(Psost(1:m-1))'+m*Pw+Psost(m)*rho_m/(1-rho_m)^2;

disp(Qsr);

disp('среднее число заавок в очереди');

qsr=Psost(m)*rho_m/(1-rho_m)^2;

disp(qsr);

disp('среднее число занатых приборов');

qs=Qsr-qsr;

disp(qs);

disp('среднее врема ожиданиа');

W=qsr/lambda;

disp(W);

disp('среднее врема пребываниа в системе');

T=Qsr/lambda;

disp(T);

% График функции распределениа времени ожиданиа FW(t)

t=0:0.01:10;

FW=1-Pw*exp(-(m*mu-lambda)*t);

plot(t,FW);

end;

1.5.2. Результаты.

введите lambda 10

введите mu 6

введите m 2

стационарный режим существует

сколько веротностей вычислить 10

вероатность простоа

0.0909

вероатности состоаний 1,...K-1

0.1515 0.1263 0.1052 0.0877 0.0731 0.0609 0.0507 0.0423 0.0352

вероатность ожиданиа перед обслуживанием

0.7576

вероатность обслуживаниа без ожидани

0.2424

Среднее число заавок в системе

5.4545

среднее число заавок в очереди

3.7879

среднее число занатых приборов

1.6667

среднее врема ожиданиа

0.3788

среднее врема пребываниа в системе

0.5455

1.5.3. График функции распределения времени ожидания FW(t).

1.6. Сравнение результатов.

Параметры сети	Имитационный расчёт	Аналитический расчёт
Вероятность ожидания	0.5596	0.7576
Среднее число заявок в системе	1.8683	5.4545
Среднее число заявок в очереди.	0.4694	3.7879

2. Компьютерное моделирование и расчет показателей СеМО.

2.1 Условие задачи.

Сеть метрополитена состоит из станций (узлов). На каждую станцию извне поступает простейший поток пассажиров с интенсивностями γ=(1,2,1,4), причём каждая станция обслуживает пассажиров в режиме М|M|∞. Так что данный метрополитен представляет собой открытую СЕМО типа [M|M|∞]⁴. Предположим, что расширенная матрица маршрутизации имеет вид:

Интенсивность пребывания пассажира в сети равна µ=(2,4,1,3). В стационарном режиме определить:

1) решение уравнения баланса;

2) распределения числа пассажиров по станциям;

3) среднее число пассажиров на каждой станции.

2.2 Кодировка Кендалла.

Для данной системы кодировка Кендалла имеет следующий вид: [М|М|∞]⁴.

2.3 Составление схемы.

2.4 Теоретическая часть.

2.4.1. Определение СеМО:

Сеть массового обслуживания полностью задана, если каждый её узел определен как СМО и указана матрица .

Если все N узлов сети одного типа, то будем обозначать её следующим образом: запись узла сети в символике Кендалла будем возводить в степень N. Например, , m=(m₁, …, m_N), - условное обозначение СеМО, в которой на первый узел извне поступает простейший поток требований, i-тый узел содержит m_i однотипных обслуживающих приборов. Поступившее требование начинает обслуживаться на любом свободном приборе. Время обслуживания распределено по показательному закону. Если все приборы заняты, то требование становится в очередь i-того узла и ожидает начала обслуживания. Ограничения на длину очереди нет. После обслуживания в i-том узле требование с вероятностью мгновенно поступает на обслуживание в j-й узел и с вероятностью покидает сеть.

Свойства СеМО напрямую зависят от структуры матрицы . Согласно типу матрицы введем понятие замкнутой, открытой и смешанной СеМО.

СеМО называют замкнутой, если и отсутствуют потоки извне. В противном случае СеМО называют разомкнутой.

Разомкнутую сеть называют открытой, если все требования могут поступать в сеть и покидать её. Если же некоторая часть требований постоянно находится в сети, то такая СеМО называется смешанной.

Матрица соответствует цепи Маркова с дискретным временем и множеством состояний {1,2, …, N, N+1}.

2.4.2. Матрица маршрутизации.

Системы обслуживания, которые образуют сеть, называются узлами этой СеМО. Занумеруем узлы СеМО числами 1, 2, …, N, где N – число узлов сети. Предположим, что требование, обслуживание которого закончилось в узле с номером i, с вероятностью p_ij поступает на обслуживание в узел с номером j и с вероятностью p_iN₊₁покидает сеть. Эти вероятности удовлетворяют условиям , i=1, …, N.