Определение сигнала на выходе динамического звена САУ. Составление условия устойчивости одноконтурной системы, состоящей из трех апериодических звеньев

но всегда сконструировать новую функцию Р(8) (см. выражение 1.3), где 5 - а + ум» — комплексное число,

В теории автоматического управления часто применяют изображения Лапласа. Практическая ценность их использования в операционном исчислении состоит в том, что дифференцированию и интегрированию оригиналом ставится в соответствие операции умножения и деления их изображений ни Ч

11ерсдаточная функция динамического звена может быть легко получена П1 шписи дифференциального уравнения в символической форме, для чего формально надо разделить многочлен (множитель) символической формы ни и к и пршюй части на многочлен символической формы левой части.

*,-*,                   У (5)

'' "^ТТТГ——о— ~ ——— " ^по задающему воздействию; Т_{ 5  +75 + 1    С(5)

- по внешнему возмущению.

Многочлен, фигурирующий в знаменателе передаточной функции теми, ми м.ишетсн характеристическим полиномом этого звена, а уравнением /^\У 0- характеристическим уравнением звена,

Пример Як 1.   Определить сигнал на выходе динамического звена САУ, если сигнал, поступающий на вход: х(1) = !(/).

I.

Передаточная функция:

Решение

11реобразованный по Лапласу входной сигнал имеет вид: Х(8) - —.

о

Тогда,   изображение  сигнала  на  выходе  динамического   звена будет:

Определим сигнал во временном диапазоне по таблице преобразований Лапласа (см. Приложение поз. 34) через обратное преобразование Лапласа:

-~;   СГ                          *

Пример № 2. Определить сигнал на выходе того же динамического звена,

если сигнал поступающий на вход: *(/) = <?(/) •

Решение

Преобразованный по Лапласу входной сигнал имеет вид: Х(8) = \ , следовательно на выходе колебательного звена во временном диапазоне (Приложение табл. поз. 32) имеем сигнал в виде функции:

. .Г                I

Параметры сигнала:

V-!-

С =

В результате сигнал на выходе звена: 1     .

лг-^е

Пример X» 3. Определить вид сигнала на выходе динамического звена САР, если сигнал, поступающий на вход звена: х(г) = Л т вЯ.

А

Передаточная функция динамического звена: ИЧ5) = ——^!—.

7,5 + 1

Решение

Преобразованный по Лапласу входной сигнал:

&1а)'         А        \       _      А__ _о?    ^    й>  Т'8'+}     Т^:5^:+1

(О¹                          (О'

Изображение сигнала на выходе динамического звена определяется как:

К              Й|          ,                     1 _           _   ,    _ Л| А

Определим сигнал во временном диапазоне (оригинал функции) по табл. (см. Приложение) через обратное преобразование Лапласа:

._, Г                     1

Параметры сигнала на выходе звена:

1                                                 1    Т

ее = — ~ о) :                 а,-—\       В = агс(§ —

Т                                  '     Т_}      Т

В результате сигнал на выходе звена:

Пример № 6

По уравнениям описывающим элементы САУ, определяем передаточные функции звеньев САУ:

Х(5)

Х_}(8)    25^г+25

Х₂(8)    5 + 2

ЛГд(5)      25 ^з(5) "5 + 1 0.55

^(5)     5 + 4

Изображаем структурную схему САУ.

21Пример № 7. В соответствии со схемой изображенной на рис. 4.1 имеем:

1

5 + 2  5 + 1

Передаточную функцию прямой цепи 0^(5) системы найдём из произведения ПФ в прямой цепи:

25'¹ +28

45 + 4

25⁴+45³+75²+55

22

Передаточную функцию разомкнутой системы  IV_г (5) определим как произведение ПФ элементов, входящих в разомкнутую цепь:

25⁴+45³+75²+55

25 + 2

25⁴+45³+75²+55^2*

Для рассматриваемого примера передаточная функция замкнутой САУ по задающему воздействию (7(5) имеет вид:

0(5)    1±И'_Р(5)    _{| +}

45 + 4______ 25 + 2

25 + 2

25'+45³+75^:+55 + ______45 + 4 ~25⁴+45¹+75^:+75

Передаточная функция замкнутой САУ по возмущающему воздействию определяет связь между изменением регулируемой величиной У(5) и

изменением возмущающего воздействия /^г(5):

0,55 5 + 4

25 + 2

25⁴+45³+75²+55 25⁴+3.55³ + 2.55²+5

+ 235³+355²+325 + 1б' где ^Д8) - передаточная функция цепи звеньев от места приложения возмущающего воздействия до регулируемой величины.

Передаточная функция САР для ошибки по задающему воздействию определяет связь между изменением сигнала ошибки Е(5)я изменением задающего воздействия (7(5):

Е(5) 1                                       1

У (5)

25 + 2

45'+75"+55

25⁴+45

25⁴+45³+75²+75 + 4*

Передаточная функция САР для ошибки по возмущающему воздействию определяет взаимосвязь между изменением сигнала ошибки Е(5)и изменением возмущающего воздействия Г:

»%<$)

к.

№...

Примечание. Для системы без местной обратной связи приводить

систему к одноконтурной нет необходимости, поскольку она уже

является одноконтурной.

Пример № 9. Составить условие устойчивости одноконтурной системы, состоящей из трех апериодических звеньев, два из которых соединены последовательно и охвачены третьим звеном в виде обратной связи.

Решение Передаточная функция разомкнутой системы.

откуда характеристическое уравнение а,5' + я,5^: + д_гЛ^т + а„ =0, где  _в1 = 77₃7;;я₂=:Г_:(7;+Г₃);  а_}^Т,+Т₂ + Т,;  «„ = ! + *.