Определение сигнала на выходе динамического звена САУ. Составление условия устойчивости одноконтурной системы, состоящей из трех апериодических звеньев, страница 4

По передаточной функции XV определим, что характеристический полином разомкнутой системы имеет один положительный корень.

Для исследования устойчивости составим частотную передаточную функцию разомкнутой системы

где

V =

__ О.ОЗОЗаг+0.000025й?⁴) I + 0.0729й?³ + 0.000654л?⁴ + 0.0000002 5л?⁶ 50<у(0.12-0.0006йГ)

+ 0.0729с?^: +0.000654й>⁴ + 0.00000025й?* По выражениям, определяющим и и У, заключаем;

а) при о) = 0 ^' = -50 и К = 0;

б) при   0 <о>< оо и<0;

в) при о? = оо и - У = 0;

г) при   со =

0,12 ),0006

34

д) при 0<й)<^, К>0и при й>, < а < оо V < 0.

Полученные данные подсказывают форму АФЧХ разомкнутой системы. Вектор, помещённый в точку с координатами (-1; уО) и перемещающийся

своим концом по построенной кривой, поворачивается против часовой стрелки на угол, равный п. Следовательно, замкнутая система устойчива.

Пример Ха 17

Построить АФЧХ разомкнутой САР по её передаточной функции

где   1с = 25 т- 0.15 а, = 0.0002 а_э - 0.006 а₂ = 0.08 а, - 0.5

Решение

Определяем частотную ПФ САР, выполнив замену Л' = }<о

04» = -———г

Выделим её действительную и мнимую части:

+ а„ш

где

и

г-3-Ю

= 1 + («,² -2а₂)со² +(д,² +2а₄-2<я,а₃)ю⁴

= 1 + 0,091

₄-б. 6

Определим значения б' и К при предельных значениях со:

К(оо) =

= 0.

Составим условие пересечения АФЧХ оси ординат: й, = 0, т.е. 1-5-Ю-³йГ-7-10-^лй^ =0.

Полученное биквадратное уравнение имеет один положительный действительный корень <ц=5.86 Следовательно, АФЧХ пересекает ось ординат при

35

Биквадратное уравнение

0,35 + 6-10-'«г-3-10'й>* =0

имеет один положительный действительный корень «0₂ = 15,7.

Следовательно,

АФЧХ пересекает ось абсцисс при га = <у_: и

Полученные данные и выражения для 1_1 и V позволяют сделать следующее заключение о расположении АФЧХ:

0<о><5,86; О>0 и У<0; а) = 5,86; (7 = 0 и У = -8,65; ' = 15,7; (/ = -2,29 и V = 0;

5,86<а><15/7; V <0 и

ш = 1 о, /,  с = -^^уис•  = v; 15,7 < а? < оо;  (У < ОИУ > 0.

На основании этих данных строится АФЧХ.

Пример № 18. Выяснить влияние постоянной времени т дифференцирующего звена на устойчивость замкнутой системы.

—,      где А = 50; Г = 0.4 с; Г, = 0.1 с.

Решение

Составим характеристическое уравнение замкнутой системы;

77,5' + (Т,+ Г₂)5^: + (1 + *г)Я + А = 0;

0.045¹³ + 0.55- + (1 + 50г)3 + 50 = О Решим это уравнение относительно г:

т = ———(0.045³ + 0.5Я⁼ + 5 + 50) 506'

и выполним подстановку 5 - ]со:

(-у0.04<у³ - 0.5аг + у <и + 50) = X + ^У

У =

1

со Для построения кривой О-разбиения [2] (см. с.265) определим:

а) при ш = 0 X = -0.02; У = +оо;

б) при а)_} =5 Л' = 0; У = 0.15;

в) при а)₂ =10 Л" =0.06; Г = 0;

г) при й) = <я ЛТ = +<эо; К = -оо.

Полученные данные позволяют построить кривую на участке 1 от (о = 0 до ы = +оо. Построив зеркальное отображение этого участка кривой относительно оси абсцисс, получим второй ее участок (от & = -со до аз - 0). Двигаясь по кривой от со = -со к со = +°о, штрихуем ее слева.

Плоскость разделена на три области, из которых на устойчивость претендует область 3, так как штриховка направлена внутрь этой области . Проверим устойчивость системы при г = 0.1 - эта точка лежит в области 3. Характеристическое уравнение при этом значении г

0.045¹+0.5$^:+65 + 50-0.

Критерий устойчивости Гурвица удовлетворяется: все коэффициенты характеристического уравнения положительные и выполняется неравенство