Определение сигнала на выходе динамического звена САУ. Составление условия устойчивости одноконтурной системы, состоящей из трех апериодических звеньев, страница 2

Имеем характеристическое уравнение третьей степени и все его коэффициенты положительные. Для устойчивости должно удовлетворяться еще одно условие - произведение средних коэффициентов характеристического уравнения должно быть больше произведения крайних, т.е.

26

В данном случае это неравенство может быть приведено к виду: А < (Г+Г, + Г)-<—+ — + —)-].

⁴I"                        3   '          \   ГГ,                     ГГ>                      Т

I 2              ?

Обозначим  Г, =с,7^и Т_ъ =с,Т. Тогда условие устойчивости.

А < (1+с,+с₃)-(1 + — + —)-!. с,     с.

Таким образом, устойчивость (замкнутой) системы зависит даже не от абсолютных значений постоянных времени, а лишь от соотношения между ними.

Пример X» 10

Определить граничное значение передаточного коэффициента разомкнутой САР с передаточной функцией.

*

где  7; =0.1 с:  Г. = 0.02с;   ^ = 0.4.

Решение

Составим характеристическое уравнение замкнутой САР

Уравнение третьего порядка, все его коэффициенты положительные. Для устойчивости необходимо и достаточно удовлетворить неравенство а₁а₁ > я₃а₀, которое в данном случае имеет вид

(т; + 2гт; нт; + 2^г_:) > т;/; 0+*).

Превратим это неравенство в равенство и определим, что

*   =

?7:

передаточный коэффициент К всегда положительная величина.

Поэтому, если условия устойчивости удовлетворяются при к < 0, то они удовлетворяются и при всех возможных значениях к. В подобных случаях принимают (условно), что А = о>. Если к не входит в условие устойчивости, то и в этом случае принимают Ь - со.

Пример № 11

Определить граничное значение передаточного коэффициента разомкнутой САР с передаточной функцией.

Решение

Составим характеристическое уравнение замкнутой САР

ТУ +.г -ьйет + й =0

и условие её" устойчивости

Аг> ЬТ или т >Т,

Коэффициент /с не входит в условие устойчивости. Замкнутая система устойчива при всех возможных значениях А и А = оо

^г ~р

В условно устойчивых САР не одно, а два граничных значения передаточного коэффициента разомкнутой цепи. Ими являются наибольшее и наименьшее значение А , при которых САР оказывается на границе устойчивости.

Пример Лв 12. Выяснить, при каких значениях А будет устойчива САР, если передаточная функция её разомкнутой цепи

где Т]-0.2с;  7;=0.25с; Г,-0,5с;  г = 0,1с

Гсшенне

Составим характеристическое уравнение для замкнутой САР: 7]/Т/ + (77, + 7Т, - 77₌)л-^: + <Г₃ - Т, - Т₂ + кт)у + (А -1) = О

по критерию Гурвица для устойчивости замкнутой САР необходимо и достаточно удовлетворить два неравенства:

А > 1  и 0.175(0.1А +0.05) >0.025(А-1).

Из этих двух неравенств определим требования к значению передаточного коэффициента: А > 1 и А <4.5.

Итак, замкн>тая САР устойчива, если 1 < А < 4.5.

Пример № 14. Определим устойчивость САР, приведенной на рис. 4.1 .

Передаточная функция разомкнутой системы по задающему воздействию имеет вид

25 + 2

то

Решение

Находим частотную передаточную функцию, подставляя ]а> вмес-

2^6)+2

Так как у=7Л, /=-1, / =-./,/ =1 и т.д. Получим

2 2 /и) + 2

2о)⁴ - 4}о>³ - 7йГ + 5у <и + 2      (2а>⁴ - 7й>^: + 2) - _/(4йГ - 5<у) Для построения АФЧХ разомкнутой системы представим частотную передаточную функцию в виде:

Чтобы представить ЧПФ в виде комплексного числа имеющего действительную И(а))1Л мнимую ]У(о)) части, умножим и разделим полученный результат на сопряжённое знаменателю комплексное выражение (2со* -7ог +2) + у(4о>^э-5<у) и получим: