Основы теории производства и издержек, страница 2

Ситуация при  называется ситуацией с постоянной отдачей от масштаба.

Производственная функция называется однородной степени k, если выполняется равенство (*).

Упражнение Доказать, что функция Кобба-Дугласа

является однородной степени  ().

Введём ряд предположений о производственных свойствах функций:

1. монотонность;
2. выпуклость;
3. как минимум дважды непрерывно дифференцируемы;
4. убывающая или постоянная отдача от масштаба (кроме особых случаев).

Упражнение Привести экономическую интерпретацию первых трёх свойств.

2. Рассмотрим поведение производственной функции при частичной вариации факторов, т. е. будем варьировать один из факторов при постоянстве остальных.

 в случае

,

 —

технологическая норма замещения (предельная норма замещения) — показывает пропорцию, в которой необходимо заменить один фактор другим, чтобы сохранить уровень выпуска.

Закон убывающей TRS:

.

Упражнение Показать, что для функции Кобба-Дугласа уравнение изокванты имеет вид:

, где  — объём выпуска,

.

3. Все факторы фиксированы, а один — варьируем.

Производственная функция с частичной вариацией факторов —

.

На сколько увеличится выпуск при малом увеличении расхода одного из факторов при неизменном количестве остальных факторов — это предельный продукт фактора :

.

Упражнение Найти предельный продукт фактора  для функции Кобба-Дугласа.

Отдача от масштаба описывает, что происходит при увеличении расхода всех факторов, а предельный продукт — при росте расхода одного фактора.

.

При росте расхода какого-либо одного фактора выпуск будет расти, но расти с убывающим темпом:

Пример Заготовка грибов.

Закон убывания предельного продукта

Закон убывания предельного продукта в сильной форме:

, ,

, .

Упражнение Показать, что для функции Кобба-Дугласа выполняется закон убывания предельного продукта в сильной форме.

Средняя отдача фактора  (производительность i-го фактора):

.

Максимум средней отдачи количества входного фактора соответствует точке пересечения графиков предельной производительности и средней отдачи. В точке предельной и средней производительности находится комбинация с минимальными издержками, отражающая оптимальное соотношение расхода фактора и выпуска продукции.

Теорема Если производственная функция однородна степени 1, то сумма предельных производительностей с весами в виде количества производственных факторов равна объёму выпуска:

 ;

если производственная функция однородна степени , то

 ;

если производственная функция однородна степени , то

 .

►самостоятельно                                                                                                                        ◄

Эластичность

В неоклассической теории часто применяют различные виды эластичности.

1. эластичность производства — показывает относительное изменение объёма выпуска по отношению к относительному изменению входного фактора:

.

( — для -го фактора).

Упражнение Показать, что для функции Кобба-Дугласа .

2. эластичность масштаба — показывает относительное изменение объёма выпуска по отношению к изменению уровня количеств входных факторов

.

3. эластичность замещения — показывает изменение отношения двух входных факторов по отношению к изменению предельной нормы замещения при постоянстве всех остальных факторов

.

Упражнение Найти эластичность замещения для функции Кобба-Дугласа.

Упражнение Найти эластичность масштаба для функции Кобба-Дугласа.

Теорема Эластичность масштаба равна сумме эластичностей производства:

.

Линейная однородность и закон отдачи

Одним из основных предположений неоклассической теории является линейная неоднородность производственной функции.

Теорема (о невозможности возрастающей отдачи)

Не существует дифференцируемой производственной функции двух переменных , обладающей свойствами:

1. линейная однородность

;

2. положительная предельная производительность

, ;

3. убывающая отдача

 ,

 ,

(т. е. меняется знак второй производной).

►без доказательства                                                                                                                   ◄

Лемма Имея две производственные функции с частичной вариацией факторов

,

,

можем всегда построить однородную производственную функцию, обладающую следующими свойствами:

1. ,
2. ,
3. 

Неоклассические производственные функции