Расчет параметров автоколебаний и анализ их устойчивости частотным способом

Практическое занятие 3.Расчет параметров автоколебаний и анализ их устойчивости частотным способом

Пример 1.

Исходные данные: g(t)=0; b=10; c=10; k=k₁k₂=20 c^-1; T₁=1 c; T₂=0,1.

Проанализировать возможность автоколебаний в системе.

Частотная передаточная функция линейной части системы имеет вид:

.

Выражения для АЧХ и ФЧХ:

,

.

Для решения задачи потребуется представление ЧПФ в алгебраической форме:

,

, .

Коэффициенты гармонической линеаризации нелинейности: , существует при a≥b, q’(a)=0. Передаточная функция линеаризованной нелинейной части:  - вещественная функция. График ее зависимости от амплитуды колебаний показан на рисунке.

Годографы, соответствующие левой и правой частям уравнения

, показаны на рисунке: 1 – АФХ линейной части; 2 – годограф функции .

Составим уравнения для определения параметров предельного цикла  и :

;

, .

Последнее уравнение позволяет найти частоту предельного цикла: . После подстановки ее в первое уравнение получим:

.

Данное уравнение приводится к виду, рассмотренному в аналогичном примере на предыдущем занятии:

.

Его решение и анализ поведения системы при различных условиях, очевидно, также аналогичны, за исключением анализа устойчивости предельных циклов.

Из рисунка видно, что имеют место два решения – с одинаковой частотой и разными амплитудами. Расчеты показывают: w^*=3,16, a₁^*=11,6; a₂^*=20.

Амплитуда a₁ относится к диапазону . В этом диапазоне увеличению параметра a соответствует движение по годографу 2 к началу координат. Следовательно, предельный цикл с амплитудой a₁ неустойчив.

Амплитуда a₂ относится к диапазону . В этом диапазоне увеличению параметра a соответствует движение по годографу 2 от начала координат. Следовательно, предельный цикл с амплитудой a₂ устойчив.

Пример 2.

Исходные данные: g(t)=0.

Проанализировать возможность автоколебаний в системе.

Частотная передаточная функция линейной части системы имеет вид:

.

АФХ линейной части показана на рисунке.

ЧПФ линеаризованного нелинейного звена:

.

Обратная ЧПФ линеаризованного нелинейного звена со знаком «-»:

Годограф данного выражения показан на рисунке.

Поскольку кривые на рисунке не пересекаются, метод гармонической линеаризации не позволяет обнаружить для данной системы какой-либо предельный цикл.

Имитационное моделирование процессов в рассматриваемой системе, тем не менее, позволяет в ряде случаев в зависимости от начальных условий  и значений параметров звеньев системы обнаружить наличие автоколебаний.

При этом проверка наличия свойства фильтра для тех же параметров дает отрицательный результат.

Этот пример демонстрирует границы применимости рассматриваемого приближенного метода.