Анализ устойчивости и качества дискретной системы

Практическое занятие 10. Анализ устойчивости и качества дискретной системы

Пример 1.

Требуется проанализировать устойчивость замкнутой системы, с передаточной функцией непрерывной части  и амплитудно-импульсной модуляцией. Заданы параметры непрерывной части: k=100c^-1, T=0,2c. Импульсный элемент с тактом величиной T₀=0,05с формирует прямоугольные импульсы. Относительная длительность импульсов (скважность) g=0,1.

При единичном входном импульсе

сигнал на выходе экстраполятора может быть представлен в виде: . С учетом его изображения по Лапласу найдем передаточную функцию экстраполятора:

.

С учетом  gT₀<<1  воспользуемся разложением экспоненты в ряд и приближением:

.

В результате передаточная функция экстраполятора может быть записана в виде:

.

Передаточная функция непрерывной части с учетом экстраполятора будет иметь вид:

.

Дискретная передаточная функция разомкнутой системы в соответствии с таблицей изображений:

,  , и замкнутой системы:

           .

После подстановки  получим характеристический полином:

;

.

В соответствии с необходимым условием устойчивости данная система второго порядка устойчива.

Для оценки запаса устойчивости воспользуемся частотным методом. Получим передаточную функцию разомкнутой системы

.

Подстановкой  перейдем к абсолютной псевдочастоте:

, где  kg=10;  ;  .

Получим выражения для логарифмических псевдочастотных характеристик:

,

.

Характеристики показаны на рисунке.

Вывод об устойчивости системы подтверждается. Запас устойчивости по фазе составляет .

Точность системы в установившемся режиме может быть оценена на основе теоремы о конечном значении.

Установившаяся ошибка от задающего воздействия:

.

Найдем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке от задающего воздействия для рассматриваемого примера:

.

Для g(t)=g₀ 1(t) имеем  и в результате получим:

.

Данная система обладает астатизмом по задающему воздействию.

Для g(t)=vt1(t) имеем  и получим:

.