Анализ особых точек и построение фазовых портретов нелинейных систем

Практическое занятие 8. Анализ особых точек и построение фазовых портретов нелинейных систем.

Пример 1.

Исходные данные: k=2;  g(t)=1(t).

Найти и классифицировать особые точки на фазовой плоскости. Построить примерный фазовый портрет системы.

Запишем общее дифференциальное уравнение системы:

или

Введем фазовые переменные x₁=y, и перейдем к модели в форме системы дифференциальных уравнений:

,

.

Рассчитаем координаты особых точек (у нелинейной системы возможны две и более особых точек):

,

,

,

.

Найдены две особые точки с координатами (2; 0) и (0,5; 0).

Выполним в общем виде линеаризацию нелинейного уравнения модели:

,  ,  ,  ,

,

-

-----------------------------------------------------------------------------

.

Окончательно линеаризованная модель принимает вид:

,

.

Как можно видеть, один из коэффициентов модели зависит от координаты особой точки, что и определяет возможное различие типов особых точек.

Рассмотрим особую точку (2; 0):

,

;

,

,

l₁=-3,   l₂=1.

Рассмотренная особая точка – седло, фазовые траектории в ее окрестности – гиперболы. В рассматриваемом базисе собственные числа матрицы А определяют наклоны особых линий (асимптот гипербол) x₂=(x₁-2) и x₂=–3(x₁-2). Направление движения изображающей точки по фазовым траекториям также определяется рассматриваемым базисом.

Рассмотрим особую точку (0,5; 0):

,

;

,

,

.

Рассмотренная особая точка – устойчивый фокус, фазовые траектории в ее окрестности – сходящиеся в особую точку спирали. Направление движения изображающей точки по фазовым траекториям – по часовой стрелке.

Результаты проведенного анализа графически отображены на рисунке.

Полный фазовый портрет представлен ниже.

Пример 2.

,

.

Найти и классифицировать особые точки на фазовой плоскости. Построить примерный фазовый портрет системы.

Рассчитаем координаты особых точек (у нелинейной системы возможны две и более особых точек):

,

;

,

,

.

Найдены три особые точки с координатами (0; 0), (1; -1) и (-1; 1).

Выполним в общем виде линеаризацию нелинейного уравнения модели:

,  ,  ,  ,

,

-

-----------------------------------------------------------------------------

.

Окончательно линеаризованная модель принимает вид:

,

.

Рассмотрим особую точку (0; 0):

,

.

,

,

.

Рассмотренная особая точка – центр, фазовые траектории в ее окрестности – эллипсы.

Для определения направления движения по фазовым траекториям в окрестности точки (0; 0) найдем значения составляющих вектора скорости движения, например, в точке (0,1; 0):

,

.

Движение по фазовым траекториям вокруг центра – против часовой стрелки.

Рассмотрим особую точку (1; -1):

,

.

,

,

,

l₁=-5,62,   l₂=0,56.

Рассмотренная особая точка – седло, фазовые траектории в ее окрестности – гиперболы. Особые линии – асимптоты гипербол. Их наклоны найдем из уравнения

или

,

– 2k² – 5k– 1 = 0,

2k² + 5k+ 1 = 0,

,

k₁= –2,28;  k₂= –0,22.

Для определения направления движения по фазовым траекториям найдем составляющие вектора скорости движения в точке (1,2; –1):

,

.

Вектор скорости в рассмотренной точке направлен влево и вверх.

Обратившись к линеаризованному уравнению

, нетрудно убедиться, что для особой точки (-1; 1) будут получены идентичные результаты.

Результаты проведенного анализа графически отображены на рисунке.

Полный фазовый портрет представлен ниже.